人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理一课一练

这是一份人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理一课一练，共4页。
1.1.2　余弦定理双基达标　限时20分钟1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于      (　　)．A.    B．8    C．10    D．7解析　c2＝a2＋b2－2abcos C＝92＋(2)2－2×9×2cos 150°＝147＝(7)2，∴c＝7.答案　D2．在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为    (　　)．A.     B.     C.     D.解析　∵c<b<a，∴最小角为角C.∴cos C＝＝＝.∴C＝，故选B.答案　B3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC                                                                                                                                                                                                                        (　　)．A．一定是锐角三角形    B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形    D．是锐角或直角三角形解析　∵>0，∴c2－a2－b2>0.∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．故选C.答案　C4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac.∴原式为0.答案　05．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.解析　∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cos A＝＝－.∵0°<A<180°，∴A＝120°.答案　120°6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c的值．解　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，∴16＝(b＋c)2－2bc－bc∴bc＝8，又∵b＋c＝6，b<c，解方程组得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2(舍)．∴b＝2，c＝4.综合提高　限时25分钟7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是       (　　)．A．直角三角形  B．等边三角形C．等腰直角三角形  D．钝角三角形解析　由余弦定理b2＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC为等边三角形．答案　B8．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则·A等于      (　　)．A.  B．－  C.  D．15解析　∵cos A＝＝＝－，∴·＝||·||·cos∠BAC＝5×3×＝－，故选B.答案　B9．在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．解析　∵c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝1＋4－4cos C＝5－4cos C.又∵0<C<，∴cos C∈(0,1)．∴c2∈(1,5)．∴c∈(1，)．答案　(1，)10．已知等腰△ABC的底边BC＝2，腰AB＝4，则腰上的中线长为________．解析　∵cos A＝＝＝.设其中一腰中线长为x，则x满足：x2＝42＋22－2×4×2cos A＝20－16×＝6.∴x＝.答案　11．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tan A的值．解　(1)由余弦定理，得cos B＝＝.∵0<B<π，∴B＝.(2)法一　将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.由余弦定理，得cos A＝＝.∵0<A<π，∴sin A＝＝.∴tan A＝＝.法二　将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.由正弦定理，得sin B＝sin A.∵B＝，∴sin A＝.又∵b＝a>a，则B>A，∴cos A＝＝.∴tan A＝＝.12．(创新拓展)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．解　(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－.又A∈(0，π)，∴A＝.(2)由(1)中a2＝b2＋c2＋bc及正弦定理，可得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，即2＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝，又0<B，C<，∴B＝C，∴△ABC为等腰的钝角三角形．