高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理同步训练题

这是一份高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理同步训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
正弦定理、余弦定理 　　●作业导航　　能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断． 　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)　　1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　)　　A．b＝7，c＝3，C＝30°　　B．b＝5，c＝4，B＝45°　　C．a＝6，b＝6，B＝60°　　D．a＝20，b＝30，A＝30°　　2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为(　)　　A．79         B．69　　C．5         D．-5　　3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　)　　A．3         B．　　C．        D．　　4．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是(　)　　A．2＜x＜2       B．2＜x≤2　　C．x＞2         D．x＜2　　5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是(　)　　A．      B．＜x＜5　　C．2＜x＜       D．＜x＜5 　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)　　1．已知△ABC的面积为，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．　　2．化简a·cosA＋b·cosB-c·cos(A-B)的结果是________．　　3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．　　4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________．　　5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋|＝________． 　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)　　1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？  　　2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．  　　3．在△ABC中，cos2，c＝5，求△ABC的内切圆半径．  　　4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则外心位于△ABC的外部．  　　5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．　　(1)求角C；  　　(2)求△ABC面积的最大值．   参考答案　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)　　1．C　分析：A中bsinC＞c，无解；　　B中csinB＜b＜c，有两解；　　C中asinB＜a＜b，有一解；　　D中bsinA＜a＜b，有两解．　　2．D　分析：∵　·＝-·，　　∵　·＝||||cosB　　＝(||2＋||2-||2)　　＝(52＋72-82)＝5　　∴　·＝-·＝-5　　3．B　分析：∵　S△ABC＝×1×c×sin60°＝，　　∴　c＝4，∴　a2＝b2＋c2-2bccosA＝13　　∴　R＝　　∵　a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC　　∴　　　4．A　分析：若解此三角形有两解，则asinB＜b＜a，即x＜2＜x，　　∴　2＜x＜2．　　5．A　分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得＜x＜3；　　(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜，由(1)(2)可知＜x＜．　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)　　1．±  ±　　分析：∵　S△ABC＝acsinB＝，∴　ac＝4       ①　　∵　b2＝a2＋c2-2accosB，∴　a2＋c2＝20         ②　　由①②解得a＝±；c＝　　2．0　分析：∵　a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝bcosA＋acosB，　　∴　a·cosA＋b·cosB-c·cos(A-B)　　＝(bcosC＋ccosB)cosA＋(acosC＋ccosA)cosB-c·(cosAcosB＋sinAsinB)　　＝bcosCcosA＋ccosBcosA＋acosCcosB＋ccosAcosB-ccosAcosB-csinAsinB　　＝cosC(bcosA＋acosB)＋c(cosAcosB-sinAsinB)　　＝ccosC＋ccos(A＋B)　　＝ccosC-ccosC＝0　　3．　　分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴　x＝7　　∵　7＝2Rsin60°，∴　R＝　　∵　S△ABC＝×8×5×sin60°＝×r×(8＋5＋7)，∴　r＝　　4．45°　分析：S△ABC＝absinC＝abcosC　　∴　sinC＝cosC，∴　tanC＝1，∴　C＝45°　　5．　分析：由三角形法则知　　|-|2＝||2　　＝||2＋||2-2||·||·cosA　　＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7　　∴　|-|＝　　类似地由平行四边形及余弦定理可知　　|＋|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19　　∴　|＋|＝　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)　　1．解：∵　A＝30°，b＝10　　(1)当0＜a＜bsinA时无解，即0＜a＜5时，无解．　　(2)当a＝bsinA时，有一解，即a＝5时，有一解．　　(3)当bsinA＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．　　(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．　　综上(1)、(2)、(3)、(4)得　　当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．　　2．解：∵　B＞90°　　∴　A、C皆为锐角，应有　　　　∴　x的取值范围是＜x＜4．　　3．解：∵　c＝5，，∴　b＝4　　又cos2　　∴　cosA＝　　又cosA＝　　∴　　　∴　b2＋c2-a2＝2b2　　∴　a2＋b2＝c2　　∴　△ABC是以角C为直角的三角形．　　a＝＝3　　∴　△ABC的内切圆半径r＝(b＋a-c)＝1．　　4．证明：∵　ab＜4R2cosAcosB　　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB　　∴　4R2sinAsinB＜4R2cosAcosB　　∴　cosAcosB＞sinAsinB　　∴　cosAcosB-sinAsinB＞0　　∴　cos(A＋B)＞0　　∵　cos(A＋B)＝-cosC　　∴　-cosC＞0　　∴　cosC＜0　　∴　90°＜C＜180°　　∴　△ABC是钝角三角形　　∴　三角形的外心位于三角形的外部．　　5．解：(1)∵　　　　　∵　2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB　　∴　2R［()2-()2］＝(a-b)·　　∴　a2-c2＝ab-b2　　∴　　　∴　cosC＝，∴　C＝30°　　(2)∵　S＝absinC　　＝·2RsinA·2RsinB·sinC　　＝R2sinAsinB　　＝-［cos(A＋B)-cos(A-B)］　　＝［cos(A-B)＋cosC］　　＝［cos(A-B)＋］　　当cos(A-B)＝1时，S有最大值