第十三讲 数列学案

第十三讲 数列

1．等差数列与等比数列

2．与的关系：

3．等差中项：若成等差数列，叫做与的等差中项，此时，

或；

若等差数列满足，则，叫做与的等差中项.

4．等比中项：若成等比数列，叫做与的等比中项，此时，

或；

若等比数列满足，则，叫做与的等比中项.

题型1 等差数列的基本运算

1.已知为等差数列，且－2=－1, =0,则公差d=

A. －2            B. － C.  D. 2

2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝

A．6      B．7        C．8     D．9

3.设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，，则a9=

A. －6           B. －4           C. －2            D. 2

4.记为等差数列的前n项和．已知，则

A.  B.  

C.  D.

题型2 等差数列的性质

1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝

A．10      B．18       C．20         D．28

2．在等差数列中，若a1＋a2＋a3＋a4=30，则a2＋a3=    　  .

3．在等差数列中，若 a3＋a4＋a5=12，则a1＋a2＋…＋a7=    　  .

题型3 等差数列高考大题

1.  (2019江苏)已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是.

2．(2018全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

题型4 等比数列的基本运算

1.  设首项为1，公比为的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则 

A.   B.

C.   D.

2.  已知数列满足

A.  B.  C.  D.

3.  (全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=

A. 16 B. 8 C. 4     D. 2

4.  (2019全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=　　　　．

题型5 等比数列的性质

1. 若-1，x，+1成等比数列，则x=

1. 1              B. 2             C.              D.－

2. 在等比数列{an}中，满足a2a6=，则a1a42a7=

A.              B.              C.－              D. 1

3. 已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4=9，a2a3=8，则公比q=

1. 2              B. －2             C.           D. 3

题型6 等比数列高考大题

1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

2.  (2019全国Ⅱ)已知是各项均为正数的等比数列，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

1．已知{an}为等差数列，公差d=－2，Sn为前n项和，若S3=S4，则a1=

A. 4             B. 6              C. 8             D. 2

2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝

A．    8       B．7      C．6     D．5

3. 已知{an}为等差数列，Sn为前n项和，若a5=5a3，则＝

A.             B.               C. 9             D. 5

4．(2017全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为

A．－24       B．－3       C．3     D．8

5. 在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为           

A. 4                          B. －4                        C. 2                          D. －2

6. 在等比数列{an}中，若a1=1，a4=8，则该数列的前6项和为

1. 64           B. 63              C.－61           D.－63

7．   已知等比数列{an}的公比为正数，且a2a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为

A．3       B．－3       C．－         D．

8．   (2017全国Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点

点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A．1盏      B．3盏       C．5盏      D．9盏

9．(2018安徽联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2a4＝16，S3＝7，则a8＝

A．32       B．64       C．128      D．256

10．已知{an}为等差数列，a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n________时，an<0.

11．(2019全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则　　　　.

12．(2019全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则　　　　.

13．(北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．

14．若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=     ；前n项和Sn=　　　　.

15．(2018北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．

16．(2019全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.

17．等差数列中，

（1）求的通项公式；

（2）设

18．设为数列{}的前项和，已知，2，N．

(1)求, , 并求数列｛｝的通项公式；

(2)求数列｛｝的前项和.

基础训练

1．数列1，3，7，15，…的通项公式an 等于

A.2n    B.2n＋1    C.2n－1    D.2n－1

2.记数列{an}的前n项和为Sn，且an=6n2+2n-1，则Sn=  （    )

A.  n2(2n-1)      B.   n·(6n2+2n-1)   

C. 2n(n2+2n-1)     D. n·(2n2+4n+1)

3．等差数列—3，1，5，…的第15项的值是

A．40   B．53  C．63  D．76

4．设是等差数列的前项和，若，则（   ）

A．   B．    C．    D ．

5．在等差数列中，已知则等于（  ）          

A．40　　B．42　　C．43　　D．45

6．已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（   ）

  A．－4   B．－6     C．－8   D．--10

7．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（    ）

Ａ．   Ｂ．    Ｃ．   Ｄ．

8．等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　）

A．9      B．10     C．11     D．12

9．等比数列中, 则的前项和为（    ）

A．      B．    C．  D．

10．与，两数的等比中项是

A．      B．    C．   D．

11．等差数列中，，则=.

12．已知数列的通项，则其前项和          ．

13．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．

14．已知等差数列的前项和为，若，则    ．

15．在等比数列中, 若则­­=___________.

16．在等比数列中, 若是方程的两根，则­­=___________.

17．在正项等比数列中，，则_______。

真题链接

1．（2015新课标2）设是数列的前项和，若，则

A．5    B．7    C．9     D．1 

2．（2015新课标1）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则       

A．    B．   C．   D．

3．（2015新课标2）已知等比数列满足，，则

A．2      B．1     C．    D．

4．（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则=      ．

5．若三个正数，，成等比数列，其中，，则．

6．（2019全国卷I）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=______．

7.（2020全国卷I）

数列满足，前16项和为540，则               .

8．（2020全国卷II）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1=–2，a2+a6=2，则S10=__________．

9．（2018全国卷Ⅰ）已知数列满足，，设．

(1)求，，；

(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；

(3)求的通项公式．

10．（2018全国卷Ⅲ）等比数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和．若，求．

11．（2019全国卷II）已知是各项均为正数的等比数列，.

（1）求的通项公式；

(2)设,求数列的前n项和．

12.（2019全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

13．（2020全国卷Ⅲ）设等比数列{an}满足，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．