第二十五讲 统计学案

这是一份第二十五讲 统计学案，共20页。

1．抽样方法
(1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；
(2)系统抽样,也叫等距抽样；
(3)分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.
【注: 它们都是等概率抽样】
2. 简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
3. 分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
【当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样】
4. 系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq \f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq \f(N,n)；
5. 茎叶图：通常用来记录两位数的数据，“茎”记录十位数，“叶”记录个位数，叶上的数字可以重复.
6. 众数、中位数和平均数：
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数
7. 总体特征数的估计：
(1)样本方差；
(2)样本标准差=；
8. 在频率分布直方图中:
(1)频率、频数、样本容量的计算方法
① eq \f(频率,组距)×组距＝频率.
② eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数.
(2)频率分布直方图中数字特征的计算
①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
= 3 \* GB3 ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
9. 回归方程：
方程：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x).
相关系数：r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2)).
(1) 散点图: 散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.
(2)利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．
当残差平方和越小，若r＞0，则正相关；r＜0时，则负相关.
(3)线性回归直线方程中：eq \(b,\s\up6(^))＞0时，正相关；eq \(b,\s\up6(^))＜0时，负相关.
(4)回归直线方程中系数的两种求法
①公式法：利用公式，求出回归系数eq \(b,\s\up6(^))，eq \(a,\s\up6(^)).
②待定系数法：利用回归直线过样本点中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))求系数.
(5)回归分析的两种策略
①利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值.
②利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数eq \(b,\s\up6(^)).
(6)对于非线性化的回归分析问题，通常先画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型，再进行变量代换，求出代换后的回归直线方程，即得所要求的非线性的回归方程.
10. 独立性检验
(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
(2)独立性检验的注意事项及求解步骤
①根据样本数据制成2×2列联表；
②根据公式K2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)计算K2的观测值k；
= 3 \* GB3 ③比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断.
题型1 抽样方法的应用问题
1．某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法
2. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到如右茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是
A. 46，45，56 B. 46，45，53
C. 47，45，56 D. 45，47，53
3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
4．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
5. (2017山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为
A. 3，5 B. 5，5
C. 3，7 D. 5，7
6. 一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人.
7. 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
（1）平均命中环数为；
（2）命中环数的标准差为.
题型2 用样本估计总体
容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
则样本数据落在区间[10,40)的频率为
0.35B. 0.45C．0.55D．0.65
2．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的概率为
A. 0.2 B. 0.4
C. 0.5 D. 0.6
3. 甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为x甲，x乙，则下列结论正确的是
A. x甲x乙；甲比乙得分稳定
C. x甲>x乙；乙比甲得分稳定
D. x甲