第八讲 三角函数的定义学案

这是一份第八讲 三角函数的定义学案，共8页。


弧度制与扇形面积
1．度量角的两种单位制
(1)角度制：①定义：用_____作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的_______．
(2)弧度制：①定义：以_____作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于_________的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
3.角度制与弧度制的转算
4．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：
(1)弧长公式：l＝________． (2)扇形面积公式：S＝________＝________．
题型一 角度制与弧度制的互化
例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°； (2)eq \f(π,10)； (3)－eq \f(4π,3)；
练1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°； (2)－15°； (3)eq \f(7π,12)； (4)－eq \f(11π,5).
题型二 扇形的弧长与面积问题
例2一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
练1 已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为( )
A.480 cm B.240 cm C.8π3 cm D.4π3 cm
练2 如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以__________为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
在单位圆中，设α是一个任意角，它的终边与__________交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的__________，记作__________，即sin α＝y；
②x叫做α的__________，记作__________，即cs α＝x；
③eq \f(y,x)叫做α的__________，记作__________，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
3．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
题型一 三角函数的定义及应用
例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cs α，tan α的值．
练1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，求sin θ，tan θ.
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若α是第四象限角，则点P(cs α，tan α)在第________象限．
(2)判断下列各式的符号： ①sin 183°； ②tan eq \f(7π,4)； ③cs 5.
练1．确定下列式子的符号：(1) tan 108°·cs 305°；(2)eq \f(cs \f(5π,6)·tan \f(11π,6),sin \f(2π,3))； (3)tan 120°·sin 269°.
诱导公式一
诱导公式一的应用
例1 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cs 750°； (2)sineq \f(7π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))cseq \f(13π,3).
练1 化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－1 080°)； (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12,5)π·tan 4π.
同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2 α＋cs2 α＝________.
商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝________eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
题型一 应用同角三角函数关系求值
例1 (1)若，求cs α，tan α的值；(2)已知cs α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值．
练1．已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．
题型二 三角函数式的化简、求值
例2 (1)化简：eq \f(\r(1－2sin 130°cs 130°),sin 130°＋\r(1－sin2130°))；(2)若角α是第二象限角，化简：tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1).
练1．化简：(1)eq \f(cs 36°－\r(1－cs236°),\r(1－2sin 36°cs 36°))； (2)eq \f(sin θ－cs θ,tan θ－1).
题型三 “sin α±cs α”同“sin αcs α”间的关系
例4 已知sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，且0＜α＜π.求：(1)sin αcs α的值；(2)求sin α－cs α的值．
练1 已知sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝ ．
练2 已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，计算下列各式的值：(1)eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)； (2)sin2α－2sin αcs α＋1.
1．下列各式中成立的是( )
A．sin2α＋cs2β＝1B．tan α＝eq \f(sin α,cs α)(α任意)
C．cs2eq \f(α,2)＝1－sin2eq \f(α,2)D．sin α＝eq \r(,1－cs2α)
2．已知α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2)))，cs α＝eq \f(4,5)，则tan α＝( )
A．±eq \f(3,4) B．eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D．eq \f(4,3)
3．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)的值是 ．
4．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，则sin αcs α＝________.
5．已知tan α＝eq \f(4,3)，且α是第三象限的角，求sin α，cs α的值．
6．(1)化简eq \r(sin2α－sin4α)，其中α是第二象限角； (2)求证：1＋tan2α＝eq \f(1,cs2α).
诱导公式




sinπ2-α= csπ2-α=____________.
sinπ2+α= csπ2+α=____________.
题型一 给角求值
例1求下列各三角函数式的值：
(1)sin(－660°)； (2)cs eq \f(27π,4)； (3)2cs 660°＋sin 630°； (4)tan eq \f(37π,6)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－5π,3))).
练1．求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°； (2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))； (3)tan(－945°)．
题型二 化简、求值
例2 化简sin2π-αcsπ+αcsπ2+αcs11π2-αcsπ-αsin3π-αsin-π-αsin(9π2+α).
练1 化简:csα-π2sin5π2+α·sin(π-α)·cs(2π-α).
练2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,3)，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)＋sinπ-αcs⁡(3π2+α)sinπ+α的值．
题型三 给值求值
例3 已知sin530-α=15,且-2700<α<-900,求sin370+α的值.
练1. 已知cs2π3-x=33,求csπ3+x,sinx-π6,cs4π3+x的值.
1．(1)sin eq \f(25π,6)＝________； (2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))＝________. (3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝________；
(4)cs 330°＝________； (5)sineq \f(5π,6)＝________； (6)tan 1 560°＝________.
(7)sin 225°＝________； (8)cseq \f(7π,6)＝________.
(9)若sin α＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝________； (10)若cs α＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝________.
2．已知，则值为（ ）
A. B. — C. D. —
3．cs (+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ ）
A. B. C. D. —
4．化简：得（ ）
A. B. C. D.±5．已知，，那么的值是
6．求值：2sin(－1110º) －sin960º+＝ ．
7．已知方程sinα= 2csα，求的值。