第十讲 三角恒等变换学案

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1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝ ； cs(α∓β)＝ ；
tan(α±β)＝ .
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝ ；
cs 2α＝ ＝ ＝ ；
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3．降幂扩角公式：cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2 α＝eq \f(1－cs 2α,2).
4．辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)) .
题型一 给角求值
例1 利用和（差）角公式计算下列各式的值.

练1 cs 50°=( )
A.cs 70°cs 20°-sin 70°sin 20° B.cs 70°sin 20°-sin 70°cs 20°
C.cs 70°cs 20°+sin 70°sin 20° D.cs 70°sin 20°+sin 70°cs 20°
练2 cs5π12csπ6+csπ12sinπ6的值是( )
A.0 B.12 C.22 D.32
练3 求值：(1)tan75°； (2)eq \f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°).
题型二 给值求值
例2
例3
练1 (1)已知α为锐角,sin α=35,β是第四象限角,cs β=45,则sin(α+β)= .
(2)若sin(α-β)cs β+cs(α-β)sin β=35,且α∈π2,π,则tanα-3π4 = .
题型三 给值求角
例4已知tanα＝eq \f(1,7)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
练1 若tan α=12,tan β=13,且α∈π,3π2,β∈0,π2,则α+β的大小等于( )
A.π4 B.5π4 C.7π4 D.9π4
题型四 二倍角公式应用
例5
练1 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，则sin2α＝________，cs2α＝________，tan2α＝________；
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0题型五 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
例3已知函数f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))－sin xcs x＋eq \f(1,4).
(1)求函数f (x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f (x)的单调递增区间．
练1．已知函数f (x)＝2eq \r(,3)cs2x＋sin 2x－eq \r(,3)＋1(x∈R)．
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)求f (x)的单调递增区间；
(3)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，求f(x)的值域．
1．sin 20°cs 10°－cs160°sin10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
2．若sineq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，则cs α＝( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3) C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
4．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5． eq \f(\r(3),cs 10°)－eq \f(1,sin 170°)＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
6．已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9) C．eq \f(2,9) D．eq \f(7,9)
3．若α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，则cs β＝( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),10) C．eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),2)或eq \f(\r(2),10)
4.化简：eq \f(2cs4 x－2cs2 x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
5．已知tan α＝－eq \f(1,3)，cs β＝eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
6．已知180°＜α＜360°，则cseq \f(α,2)的值等于( )
A．－eq \r(\f(1－cs α,2)) B．eq \r(\f(1－cs α,2)) C．－eq \r(\f(1＋cs α,2)) D．eq \r(\f(1＋cs α,2))
7．2sin θ＋2cs θ＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))) B．2eq \r(,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,4))) C．2eq \r(,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))) D．eq \r(,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))
8．函数f (x)＝2sin x＋cs x的最大值为 ．
9．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0，则taneq \f(θ,2)的值等于 ．
10．若cs 2α＝－eq \f(4,5)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则sin α＝( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(\r(10),10)
11．函数f(x)＝cs2x－2cs2eq \f(x,2)(x∈[0，π])的最小值为( )
A．1 B．－1 C.eq \f(5,4) D．－eq \f(5,4)
12．已知sin eq \f(θ,2)－cs eq \f(θ,2)＝eq \f(\r(6),3)，则cs 2θ＝________．
13．若3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
14．化简：eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0<α<π)．
15．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x.
(1)求函数f (x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤eq \f(π,2)时，求函数f (x)的最大、最小值．