高中数学人教版新课标A选修1-23.1数系的扩充和复数的概念同步测试题

3.1.1数系的扩充与复数的概念

一、选择题

1．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　　)

A．3－3i　　　　　　　　B．3＋i

C．－＋i     D.＋i

[答案]　A

[解析]　3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3，故以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是3－3i.

2．下列说法正确的是(　　)

A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等

B．ai是纯虚数(a∈R)

C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，则x＝0，y＝0

D．复数a＋bi(a，b∈R)不是实数

[答案]　A

[解析]　两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部的差与虚部的差都为0，故A正确；B中当a＝0时，ai是实数0；C中若x＋yi是实数，则y＝0就可以了；D中当b＝0时，复数a＋bi为实数．

3．若复数(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)

A．1       B．±1

C．－1      D．－2

[答案]　A

[解析]　依题意，得得x＝1.

4．已知a，b∈R，则a＝b是复数(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　当a＝b＝0时，该复数为0，为实数，故A，B不正确；由于复数(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则故a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，所以a＝b是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．

5．若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．

6．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为(　　)

A．1       B．1或－4

C．－4      D．0或－4

[答案]　C

[解析]　当a＝0或1时复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排A、B、D.

7．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(　　)

A．A∪B＝C     B．∁UA＝B

C．A∩(∁UB)＝Ø    D．B∪(∁UB)＝C

[答案]　D

[解析]　复数包括实数与虚数，而虚数包含纯虚数与非纯虚数．

8．下列命题中的假命题是(　　)

A.不是分数

B.i不是无理数

C．－i2是实数

D．若a∈R，则ai是虚数

[答案]　D

[解析]　当a＝0时，0i＝0为实数．

二、填空题

9．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，则实数x＝______，y＝______

[答案]　x＝，y＝1

[解析]　由复数相等可知

∴

10．复数z＝3＋(＋i)i的虚部是__________，实部是__________

[答案]　　2

[解析]　z＝3＋(＋i)i＝3＋i＋i2

＝3＋i－1＝2＋i

故复数z的虚部为，实部为2.

11．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为______．

[答案]　－1

[解析]　可以A∩B＝{3}来寻找解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3

∴解得a＝－1

12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为______________和____________．

[答案]　或

[解析]　方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．

三、解答题

13．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．

[解析]　由题意，得，

∴，

∴当m＝3时，原不等式成立．

14．(2010·湛江高二检测)当实数m为何值时，复数

z＝＋(m2－2m)i为

(1)实数？

(2)虚数？

(3)纯虚数？

[解析]　(1)当

即m＝2时，复数z是实数；

(2)当m2－2m≠0，且m≠0

即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；

(3)当

即m＝－3时，复数z是纯虚数．

15．已知：复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，其中x∈R.

求证：复数z不可能是纯虚数．

[证明]　假设复数z是纯虚数，

则有

由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.

当x＝－1时，log2(x－3)无意义；

当x＝4时，log2(x－3)＝0，这与log2(x－3)≠0矛盾，故假设不成立，所以复数z不可能是纯虚数．

[点评]　本题是结论本身是否定形式的命题，故在证明时一般采用反证法．

16．已知关于t的方程t2＋2t＋2xy＋(t＋x－y)i＝0(x，y∈R)，求使该方程有实根的点(x，y)的轨迹方程．

[解析]　设原方程的一个实根为t＝t0，则有

(t＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0.

根据复数相等的充要条件有

把②代入①中消去t0，得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

故所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

[点评]　因为t0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x，y)的轨迹方程，故应用代入消元法将t0消去整理即可．