高中数学3.2复数代数形式的四则运算课后作业题

3.2.2　复数代数形式的乘除运算

1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于

(　　)．

A．20＋15i   B．20－15i

C．－20－15i   D．－20＋15i

解析　(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.

答案　D

2．(1＋i)20－(1－i)20的值是

(　　)．

A．－1 024  B．1 024

C．0   D．512

解析　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝

(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.

答案　C

3.＋的值是

(　　)．

A．0  B．1  C．i  D．2i

解析　原式＝＋＝＋＝－＋i＝2i，故选D.

答案　D

4．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.

解析　∵z＝1＋i

∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)

＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.

答案　－3

5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

解析　＝＝＝

＝，∴∴a＝.

答案　

6．计算(1)6＋；

(2)4.

解　(1)原式＝i6＋＝i2＋

＝－1＋i.

(2)法一　原式＝2＝2

　　　　　＝－－i.

法二　∵3＝1，

∴原式＝4＝3

　＝－－i.

7．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝

(　　)．

A．2＋i   B．2－i 

C．1＋2i   D．1－2i

解析　＝＝＝(10－5i)＝2－i，

∴z＝2＋i.

答案　A

8．若x＝，那么＝

(　　)．

A．－2  B．－1  C．1＋i  D．1

解析　∵x2－x＝x(x－1)＝.＝·＝－(1－i)(1＋i)＝－1，

所以＝－1，故选B.

答案　B

9．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．

①|z－|＝2y；②z2＝x2＋y2；

③|z－|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|.

解析　∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴①不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴③不正确；对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故④正确．

答案　④

10．设f(z＋i)＝1－，z1＝1＋i，z2＝1－i，则f＝________.

解析　令z＋i＝t，得z＝t－i，

f(t)＝1－()＝1－i－，

＋＝＋＝＝＝1.

∴f＝f(1)＝1－i－1＝－i.

答案　－i

11．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.

解　由z2＋<0可知z2＋是实数且为负数．

z＝＝＝＝1－i.

∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则

z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋

＝－＋i<0，

∴∴m＝4，∴a＝4i.

12．(创新拓展)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．

解　z＝(a＋bi)

＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.

由|z|＝4，得a2＋b2＝4，          ①

∵复数0，z，对应的点构成正三角形，

∴|z－|＝|z|.

把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.         ②

又∵z对应的点在第一象限，

∴a<0，b<0.

由①②得

故所求值为a＝－，b＝－1.