人教版新课标A第二章 推理与证明综合与测试练习题

2．1.2　演绎推理

1．下面几种推理过程是演绎推理的是

(　　)．

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

解析　C是类比推理，B与D均为归纳推理．

答案　A

2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是

(　　)．

A．①  B．②  C．①②  D．③

解析　大前提为①，小前提为③，结论为②.

答案　D

3．“因对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理错误的是

(　　)．

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

解析　y＝logax，当a>1时，函数是增函数；当0<a<1时，函数是减函数．

答案　A

4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是a2________b2＋c2(填“>”“<”或“＝”)．

解析　由cos A＝<0知b2＋c2－a2<0，

故a2>b2＋c2.

答案　>

5．在推理“因为y＝sin x是上的增函数，所以sinπ>sin”中，大前提为_____________________________________________________；

小前提为_________________________________________________；

结论为________________________________________________________．

答案　y＝sin x是上的增函数

π、∈且>　sin>sin

6．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.

证明　因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．

设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．

7．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是

(　　)．

A．小前提错     B．结论错

C．正确的     D．大前提错

解析　由三段论推理概念知推理正确．

答案　C

8．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.

其中正确的命题个数是

(　　)．

A．1  B．2  C．3  D．4

解析　①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.

答案　B

9．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：

大前提　__________________________________________________；

小前提　_______________________________________________________；

结论　_______________________________________________________.

答案　一次函数的图象是一条直线　函数y＝2x＋5是一次函数　函数y＝2x＋5的图象是一条直线

10．“如图，在△ABC中，AC >BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD”．

证明：在△ABC中 ，

因为CD⊥AB，AC>BC，①

所以AD>BD，②

于是∠ACD>∠BCD.③

则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)

解析　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．

答案　③

11．已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

(1)证明　∵x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

∴令x＝y＝0得，f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.

令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(2)解　设x1，x2∈R且x1<x2，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，

∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，

即f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)为减函数．

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．

∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，

f(－3)＝－f(3)＝6，

∴函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.

12．(创新拓展)设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．

解　类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：

可设点M(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，

有－＝1.

又设点P(x，y)，则由kPM＝，kPN＝，

得kPM·kPN＝·＝.

把y2＝－b2，n2＝－b2代入上式，

得kPM·kPN＝.