选修1-2第二章 推理与证明综合与测试单元测试综合训练题

第二章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为(　　)

A．大前提错误　　　　　  B．小前提错误

C．推理形式错误     D．非以上错误

[答案]　C

[解析]　推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)

A.       B.

C.       D.

[答案]　B

[解析]　考查归纳推理．

a2＝S2－S1＝22a2－1∴a2＝

a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×

∴a3＝

a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×

∴a4＝

由此猜想an＝

3．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为(　　)

A．10        B．14

C．13        D．100

[答案]　B

[解析]　设n∈N*，则数字n共有n个

所以≤100即n(n＋1)≤200，

又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.

4．如果x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，那么(　　)

A．F＝0，D≠0，E≠0    B．E＝0，F＝0，D≠0

C．D＝0，F＝0，E≠0    D．D＝0，E＝0，F≠0

[答案]　C

[解析]　∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，

∴圆过原点，F＝0，又圆心在y轴上，∴D＝0，E≠0.

5．已知a<b<0，下列不等式中成立的是(　　)

A．a2<b2       B.<1

C．a<4－b       D.<

[答案]　C

[解析]　∵a<b<0，∴－b>0,4－b>4，∴a<4－b.

6．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2011(x)等于(　　)

A．sinx       B．－sinx

C．cosx       D．－cosx

[答案]　D

[解析]　由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以归纳出：

f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.

7．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于(　　)

A．0        B．－

C.        D.

[答案]　B

[解析]　a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此数列具有周期性，0，－，依次重复出现．

因为20＝3×6＋2，所以a20＝－.

8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为(　　)

A．a＝，b＝c＝

B．a＝b＝c＝

C．a＝0，b＝c＝

D．不存在这样的a，b，c

[答案]　A

[解析]　令n＝1,2,3，得

所以a＝，b＝c＝.

9．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　)

A．一定大于零      B．一定等于零

C．一定小于零      D．正负都有可能

[答案]　A

[解析]　f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，

由a＋b>0得a>－b，

所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，

同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.

10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是(　　)

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c中至多有一个是偶数

D．假设a，b，c中至多有两个偶数

[答案]　B

[解析]　对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．

11．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)…(1－an)，通过计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，由此猜想f(n)＝(　　)

A.       B.

C.       D.

[答案]　A

12．若＝＝，则△ABC是(　　)

A．等边三角形

B．有一个内角是30°的直角三角形

C．等腰直角三角形

D．有一个内角是30°的等腰三角形

[答案]　C

[解析]　∵＝＝，由正弦定理得，

＝＝，∴＝＝＝，

∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．对于“求证函数f(x)＝－x3在R上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D的函数f(x)，若对任意x1，x2∈D且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)<0，则函数f(x)在D上是减函数”，小前提是“

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________”，结论是“f(x)＝－x3在 R上是减函数”．

[答案]　对于任意x1，x2∈R且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)＝－x＋x＝－(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝－(x2－x1)·<0

14．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：

________________________________________________________________________.

[答案]　在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)

15．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2、a3、a4、a5分别为________，猜想an＝________.

[答案]　，，，，.

16．已知函数f(x)＝x2－cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：

①x1>x2；②x>x；③|x1|>x2.

其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是______．

[答案]　②

[解析]　易知函数f(x)是偶函数，且在上是增函数，故能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件只有②x>x.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.

求证：a2＋b2＋c2≥.

[解析]　证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.

三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.

由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，

即a2＋b2＋c2≥.

18．(本题满分12分)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，若cn＝an＋bn，请证明数列{cn}不是等比数列．

[证明]　假设数列{cn}是等比数列，则

(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①

因为{an}，{bn}是等比数列，设公比分别为p，q，则有

a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1.②

整理①式，并将②代入得

2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1.

所以2anbn＝anp·＋·bnq，即2＝＋.

因为p≠q，所以＋≠2，得出矛盾，所以假设不成立．

故数列{cn}不是等比数列．

19．(本题满分12分)若x>0，y>0，用分析法证明：(x2＋y2)>(x3＋y3).

[证明]　要证(x2＋y2)>(x3＋y3)，

只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，

即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，

即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.

又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，

故只需证3x2＋3y2>2xy.

而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，

所以(x2＋y2)>(x3＋y3)成立．

20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．

2cos＝，

2cos＝，

2cos＝，

……

[证明]　2cos＝2·＝

2cos＝2

＝2·＝

2cos＝2

＝2

＝

…

2cos＝

21．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1.

(1)求a2，a3，a4；

(2)求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．

[解析]　(1)由an·an－1＝2·an－1－1得

an＝2－，

代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得

a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.

(2)证明：由an·an－1＝2·an－1－1变形，得

(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，

即－＝1，

所以{}是等差数列．

由＝，所以＝＋n－1，变形得an－1＝，

所以an＝为数列{an}的通项公式．

22．(本题满分14分)已知函数f(x)对任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数．

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.

[解析]　(1)证明：设任意x1，x2∈R，且x2>x1，

则有x2－x1>0，利用已知条件“当x>0时，f(x)>1”得f(x2－x1)>1，

而f(x2)－f(x1)

＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)

＝f(x2－x1)－1>0，

即f(x2)>f(x1)，

所以f(x)是R上的增函数．

(2)由于f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.

由f(3m2－m－2)<3得f(3m2－m－2)<f(2)．

由f(x)是R上的增函数，得3m2－m－2<2，

解得－1<m<.