高中数学人教版新课标A选修1-2第二章 推理与证明综合与测试一课一练

2章章末

一、选择题

1．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序无素对(a，b)，在S中有惟一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈，有a* (b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　)

A．(a*b) *a＝a

B．[a* (b*a)] * (a*b)＝a

C．b* (b*b)＝b

D．(a*b) * [b* (a*b)]＝b

[答案]　A

[解析]　抓住本题的本质a* (b*a)＝b此式恒成立．

a，b只要为S中元素即可，a*b∈S，

B中由已知即为b* (a*b)＝a符合已知条件形式．

C中取a＝b即可．

D中a*b相当于已知中的a，也正确．

只有A不一定正确．

2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想：第n(n∈N＋)个等式应为(　　)

A．9(n＋1)＋n＝10n＋9

B．9(n－1)＋n＝10n－9

C．9n＋(n－1)＝10n－1

D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10

[答案]　B

3．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的(　　)

A．第6项　　　　　　　　　 B．第7项

C．第19项      D．第11项

[答案]　B

[解析]　，，，，…，而2＝，可见各根号内构成首项为2，公差为3的等差数列

由20＝2＋(n－1)×3得n＝7.

二、填空题

4．已知等式cosα·cos2α＝，cosα·cos2α·cos4α＝，…，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明)，那么这个等式是：__________________.

[答案]　cosα·cos2α·…·cos(2n－1α)＝

[解析]　该题通过观察前几个特殊式子的特点，通过归纳推理是得出一般规律，写出结果即可．

5．(2010·淄博模拟)已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)

f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＝________.

[答案]　24

[解析]　依题意有f(2x)＝f(x＋x)＝f2(x)，

又f(x＋1)＝f(x)·f(1)，∴f(1)＝.

于是原式＝＋＋＋

＝2[f(1)＋f(1)＋f(1)＋f(1)]＝24.

三、解答题

6．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)

(1)证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．

[证明]　任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，

∵a>1，∴ax2－x1>1，且ax1>0，

∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax1>0，

又∵x1＋1>0，x2＋1>0.

∴－＝

＝>0.

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)假设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0.

①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1，

∴f(x0)<－1与f(x0)＝0矛盾

②若x0<－1，则>0，ax0>0，

∴f(x0)>0与f(x0)＝0矛盾．

故方程f(x)＝0没有负数根．