高中数学人教版新课标A选修1-22.1合情推理与演绎推理课时练习

第2课时　分析法及其应用

1．要证明＋＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是

(　　)．

A．综合法  B．分析法  C．反证法  D．归纳法

答案　B

2．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于

(　　)．

A．1   B．－1 

C．0   D．±1

解析　奇函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0，

∴f(0)＝＝＝0，

∴a＝1，故选A.

答案　A

3．如果x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是

(　　)．

A.   B．2－2

C．1＋   D．2－

解析　由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，

则2－(x＋y)＝xy≤2，

∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，

∴x＋y≥2－2或x＋y≤－2－2.

∵x＞0，y＞0，∴x＋y的最小值为2－2.

答案　B

4．设A＝＋，B＝(a＞0，b＞0)，则A、B的大小关系为________．

解析　A－B＝－＝≥0.

答案　A≥B

5．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________．

解析　数形结合知，曲线y＝4x2在点P处的切线l与直线y＝4x－5平行．

设l：y＝4x＋b.将y＝4x＋b代入y＝4x2，

得4x2－4x－b＝0，令Δ＝0，得b＝－1.

∴4x2－4x＋1＝0，

∴x＝，∴y＝1.

答案　

6．设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.

证明　法一　分析法

要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．

只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，

又因a＋b＞0，

只需证a2－ab＋b2＞ab成立，

只需证a2－2ab＋b2＞0成立，

即需证(a－b)2＞0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．

由此命题得证．

法二　综合法

a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0

⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.

注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得

(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．

∴a3＋b3＞a2b＋ab2.

7．p＝＋，q＝ (m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为

(　　)．

A．p≥q     B．p≤q 

C．p＞q     D．不确定

解析　q＝

≥ ＝＋＝p.

答案　B

8．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是  (　　)．

A．(－∞，－2]     B．[－2,2]

C．[－2，＋∞)     D．[0，＋∞)

解析　用分离参数法可得a≥－(x≠0)，而|x|＋≥2，∴a≥－2，当x＝0时原不等式显然成立．

答案　C

9．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为________．

①菱形　②梯形　③矩形　④平行四边形

解析　∵＋＝＋，

∴－＝－，∴＝，

∴四边形ABCD为平行四边形．

答案　平行四边形

10．若f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，

n∈N*，则f(n)、g(n)、φ(n)的大小关系为________．

解析　法一　f(n)、g(n)可用分子有理化进行变形，然后与φ(n)进行比较．

f(n)＝＜，g(n)＝＞

∴f(n)＜φ(n)＜g(n)．

法二　特殊值法．取n＝1，

则f(1)＝－1，g(1)＝1，φ(1)＝.

答案　f(n)＜φ(n)＜g(n)

11．已知a＞0，b＞0，用两种方法证明：＋≥＋.

证明　法一　(综合法)：

因为a＞0，b＞0，

所以＋－－

＝＋

＝＋＝(a－b)

＝≥0，

所以＋≥＋.

法二　(分析法)：

要证＋≥＋，

只需证a＋b≥a＋b，

即证(a－b)(－)≥0，

因为a＞0，b＞0，a－b与－同号，

所以(a－b)(－)≥0成立，

所以＋≥＋成立．

12．(创新拓展)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xln x.

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设0＜a＜b，求证0＜g(a)＋g(b)－2g＜

(b－a)ln 2.

(1)解　函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

令f′(x)＝－1＝0，得x＝0.

当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，

f(x)为单调递增函数；

当x＞0时，f′(x)＜0，f(x)为单调递减函数，

故当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.

(2)证明　∵g(x)＝xln x，

∴g′(x)＝ln x＋1，其定义域为(0，＋∞)．

设F(x)＝g(a)＋g(x)－2g，

则F′(x)＝ln x－ln.

令F′(x)＝0，得x＝a.

当0＜x＜a时，F′(x)＜0，

F(x)为单调递减函数；

当x＞a时，F′(x)＞0，

F(x)为单调递增函数，

∴F(x)有最小值F(a)．

∵F(a)＝0，b＞a，

∴F(b)＞0，即g(a)＋g(b)－2g＞0.

设G(x)＝F(x)－(x－a)ln 2，

则G′(x)＝ln x－ln－ln 2＝ln x－ln(a＋x)．

当x＞0时，G′(x)＜0，G(x)为单调递减函数．

∵G(a)＝0，b＞a，

∴G(b)＜0，即g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln 2.

综上可知，0＜g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln 2.