高中数学人教版新课标A选修1-22.1合情推理与演绎推理达标测试

第二章    推理与证明

2．1　合情推理与演绎推理

2．1.1　合情推理

第1课时　归纳推理

1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为

(　　)．

A．3   B．－3 

C．6   D．－6

解析　a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.

答案　A

2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 007(x)等于

(　　)．

A．sin x   B．－sin x

C．cos x   D．－cos x

解析　由已知，有f1(x)＝cos x，

f2(x)＝－sin x，

f3(x)＝－cos x，

f4(x)＝sin x，

f5(x)＝cos x，

…可以归纳出：

f4n(x)＝sin x，

f4n＋1(x)＝cos x，

f4n＋2(x)＝－sin x，

f4n＋3(x)＝－cos x(n∈N＋)，

∴f2 007(x)＝f3(x)＝－cos x.

答案　D

3．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那这个数列的通项公式是

(　　)．

A．an＝2(n2＋n＋1)   B．an＝3·2n

C．an＝3n＋1   D．an＝2·3n

 解析　当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6，

由Sn＝an－3，

当n≥2时，Sn－1＝an－1－3，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

∴an＝3an－1.

∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.

猜想：an＝6·3n－1＝2·3n.

答案　D

4．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________．猜想xn＝________.

解析　x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝

x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝.

答案　，，　

5．观察下列各式

9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….

这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．

解析　由已知四个式子可分析规律：

(n＋2)2－n2＝4n＋4.

答案　(n＋2)2－n2＝4n＋4

6．对于函数f(x)＝，设f2(x)＝f[f(x)]，f3(x)＝f[f2(x)]，…，fn＋1(x)＝f[fn(x)](n∈N*，且n≥2)，

(1)写出f2(x)，f3(x)，f4(x)，f5(x)的表达式；

(2)根据(1)的结论，请你猜想并写出f4n－1(x)的表达式．

解　(1)∵f(x)＝1－

∴f2(x)＝1－＝1－＝－，

f3(x)＝，f4(x)＝x，

f5(x)＝f(x)…，故fn(x)是以4为周期．

(2)f4n－1(x)＝f3(x)＝.

7．设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，猜想an＝

(　　)．

A．2cos    B．2cos

C．2cos    D．2 sin

解析　法一　∵a1＝2cos θ，

a2＝＝2  ＝2cos ，

a3＝＝2  ＝2cos ，…，

猜想an＝2cos .

法二　验n＝1时，排除A、C、D，故选B.

答案　B

8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于

(　　)．

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111

1 234×9＋5＝11 111

12 345×9＋6＝111 111

……

A．1 111 110   B．1 111 111

C．1 111 112   D．1 111 113

解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.

答案　B

9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)

试求第七个三角形数是________．

解析　观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝，∴当n＝7时，＝28.

答案　28

10．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，

那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．

解析　由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是：n2＋n.

答案　n2＋n

11．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值．

解　f(1)＝1－a1＝1－＝，

f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·

＝·＝＝，

f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)

＝f(2)·＝·＝.

由此猜想：f(n)＝.

12．(创新拓展)观察下表：

问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？

(2)此表第n行的各个数之和是多少？

(3)2 010是第几行的第几个数？

解　(1)∵第n＋1行的第一个数是2n，

∴第n行的最后一个数是2n－1.

(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝＝3×22n－3－2n－2为所求．

(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024＜2 010＜2 048，

∴2 010在第11行，该行第1个数是210＝1 024.

由2 010－1 024＋1＝987，知2 010是第11行的第987个数．