数学必修51.2 应用举例同步测试题

解三角形（一）

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．半径为1的圆内接三角形的面积为，则abc的值为(　)

　　A．         B．1

　　C．2         D．4

　　2．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是(　)

　　A．10海里       B．海里

　　C．5海里        D．5海里

　　3．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于(　)

　　A．15°         B．10°

　　C．5°         D．20°

　　4．在200 m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　)

　　A．m        B．m

　　C．m       D．m

　　5．△ABC中，若2B＝A＋C，周长的一半p＝10，且面积为10，则三边长分别是(　)

　　A．4，7，9        B．5，6，9

　　C．5，7，8        D．6，7，7

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．等腰三角形顶角的余弦为，则底角的正弦值为________．

　　2．某人向正东方向走x千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，则x的值为________千米．

　　3．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________．

　　4．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________．

　　5．△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦是，则面积S＝________．

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．在△ABC中，已知acosA＝bcosB，试确定△ABC的形状．

　　2．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为

15°，向山顶前进了100米后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m，求此山对于地平面的斜度的倾角．

　　3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A 2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？

　　4．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．

　　5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若，求证：∠B为锐角．

参考答案

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．B　分析：∵　S△ABC＝absinC，

　　又S△ABC＝，sinC＝，

　　∴　＝abc·，

　　∴　abc＝1．

　　2．D　分析：如图，C＝180°-60°-75°＝45°，

　　AB＝10，∴　

　　∴　BC＝5(海里)

　　3．A　分析：如图，BC＝CA，CD＝DA，

　　设AE＝h，则

　　∴　2cos2＝，∴　cos2＝

　　∴　2＝30°，∴　＝15°．

　　4．A　分析：如图，设塔高AB为h，

　　Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°-60°＝30°

　　∴　BC＝

　　在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°-30°＝30°

　　∴　∠BAC＝120°

　　∴　

　　∴　（m）

　　5．C　分析：∵　2B＝A＋C，又A＋B＋C＝

　　∴　B＝60°

　　∴　cosB＝cos60°＝，

　　B所对的边不是最长边不是最短边，

　　由余弦定理可知，

　　选C．

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．　分析：设底角为，则顶角为-2

　　∴　cos(-2)＝，∴　cos2＝-

　　∴　1-2sin2＝-，

　　∴　2sin2＝

　　∴　sin2＝，∴　sin＝或sin＝-(舍去)

　　2．2或　分析：如图，设出发点为A，则由已知可得

　　AB＝x千米，BC＝3千米

　　∠ABC＝180°-150°＝30°

　　AC＝，∴　，

　　∴　，

　　∴　∠CAB＝60°或∠CAB＝120°

　　当∠CAB＝60°时，∠ACB＝180°-30°-60°＝90°

　　x＝2千米

　　当∠CAB＝120°，∠ACB＝180°-120°-30°＝30°

　　∴　x＝AC＝千米

　　3．cm　分析：如图，

　　∠ABC＝180°-105°＝75°

　　∠BCA＝180°-135°＝45°，

　　BC＝10 cm

　　∴　∠A＝180°-75°-45°＝60°

　　∴　

　　∴　x＝(cm)

　　4．50() m

　　分析：如图，DB＝100 m

　　∠BDA＝45°，∠BCA＝30°

　　设CD＝x

　　∴　(x＋DA)·tan30°＝DA·tan45°

　　又DA＝BD·cos45°＝100×

　　∴　x＝-DA

　　＝

　　＝50(-1)

　　＝50()(m)

　　5．　分析：∵　a＝b＋2，b＝c＋2

　　∴　a边对的角最大，且b＝a-2，c＝a-4；cosA=±

　　∴　＝±1

　　当＝1时，无解

　　当＝-1时，a＝7

　　∴　b＝5，c＝3

　　∴　S△ABC＝bcsinA＝×5×3×

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．解：∵　acosA＝bcosB

　　∴　a·

　　∴　a2(b2＋c2-a2)＝b2(a2＋c2-b2)

　　∴　c2(a2-b2)＝a4-b4

　　∴　c2(a2-b2)＝(a2-b2)(a2＋b2)

　　∴　(a2-b2)(a2＋b2-c2)＝0

　　∴　a2＝b2或a2＋b2＝c2

　　∴　△ABC是等腰三角形或是直角三角形．

　　2．解：在△ABC中，∠BAC＝15°

　　∠CBA＝180°-45°＝135°，AB＝100 m

　　∴　∠ACB＝30°

　　由正弦定理，得

　　∴　BC＝

　　又在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋，

　　CD＝50 m

　　∴　

　　∴　

　　解得cos＝-1

　　∴　＝42.94°

　　∴　山对于地平面的斜度的倾斜角为42.94°．

　　3．解：如图，设缉私船追上走私船所需要的时间为t小时，则有CD＝10t，

　　BD＝10t，

　　在△ABC中，∵　AB＝-1，AC＝2，∠BAC＝45°＋75°＝120°

　　∴　BC＝

　　由正弦定理可得sinABC＝

　　∴　∠ABC＝45°，∴　∠CBD＝90°＋30°＝120°

　　又sinBCD＝

　　∴　∠BCD＝30°，∠BDC＝30°

　　∴　BD＝BC＝，则有10t＝，

　　∴　t＝＝0.245小时＝14.7分

　　∴　缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟能追上走私船．

　　4．解：如图，在△ABC中，由已知可得AC＝

　　设C到AB的距离为CD，

CD＝AC＝20(＋3)

∴河的宽度为

　　5．证明：∵　cosB＝

　　∵　

　　∴　2ac＝bc＋ba

　　∴　ac-bc＝ba-ac

　　∴　c(a-b)＝a(b-c)

　　∴　a-b与b-c同号

　　∴　

　　∴　

　　∴　a＞b＞c或a＜b＜c

　　∴　a2-b2＞0或c2-b2＞0

　　∴　a2＋c2-b2＞0

　　∴　cosB＞0

　　∴　∠B为锐角