第2章不等式复习测试1-含答案

这是一份第2章不等式复习测试1-含答案，共24页。
不等式复习测试题一一．选择题（共10小题）1．已知函数在，上是减函数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，2．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是　　A． B． C． D．3．已知函数的两个零点分别为，，则的最小值为　　A．8 B．6 C．4 D．24．已知函数，若，则的取值范围是　　A． B． C． D．5．已知、，且，则下列不等式恒成立的是　　A． B． C． D．6．已知，，且，则的最小值是　　A．5 B．6 C． D．7．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为　　A． B． C． D．8．已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为　　A．1 B． C． D．二．多选题（共4小题）9．设，，，则　　A．的最小值为 B．的范围为， C．的是小值为 D．若，则的最小值为810．已知，为正实数，且，则　　A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为11．已知，，，则　　A．的最大值为1 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为12．下列不等式中错误的是　　A． B． C． D．三．填空题（共5小题）13．若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．14．设函数，若关于的不等式的解集为，，则　　．15．对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值．设，，若、的算术平均值是1，则、的几何平均值是自然对数的底）的最小值是　　．16．设、均为实数，若函数在区间，上有零点，则的取值范围是　　．四．解答题（共9小题）17．已知，，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求的最小值．18．设二次函数．（1）若不等式的解集为，求，的值；（2）若（1），，，求的最小值．19．已知，，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围．20．已知函数，且（1）．（1）若在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（2）若在区间上有零点，求实数的取值范围；（3）若在，上的最大值是2，求实数的的值．21．已知二次函数满足，的对称轴为，对于任意，都有．（1）求函数的表达式；（2）设，试求函数在区间，的最小值．22．已知函数．（Ⅰ）若的值域为，，求的值；（Ⅱ）已知，是否存在这样的实数，使函数在区间，内有且只有一个零点．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
不等式复习测试题一参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知函数在，上是减函数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【分析】结合二次函数的性质得到关于的不等式，解出即可．【解答】解：函数的对称轴是，若在，上是减函数，则，故，故选：．【点评】本题考查了二次函数的单调性问题，是一道基础题．2．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是　　A． B． C． D．【分析】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出结论．【解答】解：下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确．故选：．【点评】本题考查了不等式的应用、溶液的浓度，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知函数的两个零点分别为，，则的最小值为　　A．8 B．6 C．4 D．2【分析】由韦达定理求出，，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：由题意得：，，故，当且仅当时“”成立，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．已知函数，若，则的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】利用函数的单调性解不等式即可．【解答】解：函数的定义域为，且为减函数，若，则，解得，即的取值范围是．故选：．【点评】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题．5．已知、，且，则下列不等式恒成立的是　　A． B． C． D．【分析】由已知结合不等式的性质及指数与对数函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：当，时显然，但不成立，当时显然不成立，当，时，显然不成立，由于单调递增，由可得，成立．故选：．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础试题．6．已知，，且，则的最小值是　　A．5 B．6 C． D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，，且，则，当且仅当且，即，时取等号，故的最小值5．故选：．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．7．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为　　A． B． C． D．【分析】先根据题意列出方程，再由基本不等式可得出和的大小关系．【解答】解：由题意知：，，，在为定值的情况下，的最大值为；当且仅当时等号成立；故选：．【点评】本题考查基本不等式在实际生活中的应用，根据题意列出关系式是解决问题的关键．8．已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为　　A．1 B． C． D．【分析】先由题设条件且，再将式子变形为：，然后利用基本不等式求得其最小值，即可求得的最大值．【解答】解：由题设可得：，即，，又，，又，，当且仅当时取“ “，，当且仅当时取“ “，故选：．【点评】本题主要考查二次不等式与二次方程之间的关系及基本不等式在求式子的最值中的应用，属于中档题．二．多选题（共4小题）9．设，，，则　　A．的最小值为 B．的范围为， C．的是小值为 D．若，则的最小值为8【分析】结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于中，由，当且仅当时取等，可得的最小值为，所以正确；对于中，由，当且仅当时，即，时，等号成立，取得最小值9，所以正确；对于中，由，又由，所以，所以不正确；对于中，由，当且仅当时，即，时，等号成立，可得，当且仅当时取等，所以正确．故选：．【点评】本题主考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是结论的灵活应用．10．已知，为正实数，且，则　　A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为【分析】由不等式可分析选项，由不等式可分析选项，由已知得出，通过恒等变形以及基本不等式可分析，．【解答】解：对于选项，，即，又，为正实数，所以，即，当且仅当时，不等式可取等号，故正确；对于选项，，即，又，为正实数，所以，当且仅当时，不等式可取等号，故正确；对于选项，，，，当且仅当，即，时，不等式可取等号，故错误；对于选项，，，即，当且仅当，即，时，不等式可取等号，故正确；故选：．【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查恒等变形的能力，属于较难题．11．已知，，，则　　A．的最大值为1 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为【分析】结合已知及基本不等式及结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：，，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，的最大值，错误；，即最大值，正确；，当且仅当时取等号，即最大值，错误；，当且仅当且即，时取等号，故的最小值．故选：．【点评】本题主要考查了利用基本不等式及相关结论求解最值，结论的灵活应用是求解问题的关键．12．下列不等式中错误的是　　A． B． C． D．【分析】对于分别利用作差法即可比较，对于，举反例即可判断．【解答】解：，故，正确；，，的符号不定，所以与的大小不定，错误；，故，正确；，当时，，故错误．故选：．【点评】本题考查了不等式的大小比较，考查了作差法，属于基础题．三．填空题（共5小题）13．若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．【分析】由已知结合基本不等式求出的最小值，然后结合不等式的恒成立与最值关系，求出的范围．【解答】解：因为正实数，满足，所以，当且仅当且，即，时取等号，则的最小值4，因为恒成立，所以，解得．故的范围为．故答案为：．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，不等式的恒成立与最值的相互转化关系的应用，属于中档题．14．设函数，若关于的不等式的解集为，，则　27　．【分析】根据不等式的解集得出对应方程的实数根，从而求出、的值，再计算．【解答】解：函数，所以不等式可化为，即，又该不等式组的解集为，，所以3、6是的根，且2、6是方程的根，所以，，且，即，，即；所以．故答案为：27．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值．设，，若、的算术平均值是1，则、的几何平均值是自然对数的底）的最小值是　　．【分析】由已知可得，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得，，故，、的几何平均值，当且仅当时取等号．故答案为：．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．16．设、均为实数，若函数在区间，上有零点，则的取值范围是　，　．【分析】函数在区间，上有零点，转化为在区间，上有解，，即或，分类，根据线性规划即可求出．【解答】解：在区间，上有零点，在区间，上有解，在区间，上有解，令，或，即或，①当时，画出关于，的约束条件，如图所示则表示到可行域内点的距离，当此时为最小值，即，②当时，画出关于，的约束条件，如图所示，此时，综上所述故答案为：，．【点评】本题考查了函数零点的问题和线性规划的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．四．解答题（共9小题）17．已知，，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求的最小值．【分析】（1）由已知得，，解不等式可求，（2）由题意得，，展开后结合基本不等式可求．【解答】解：（1），，，当且仅当且即，时取等号，解得，，故的最大值100．（2）因为，，且．所以，当且仅当且即，时取等号，所以的最小值．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题18．设二次函数．（1）若不等式的解集为，求，的值；（2）若（1），，，求的最小值．【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值．（2）由题意，利用基本不等式，即可求出的最小值．【解答】解：（1）二次函数，且不等式的解集为，所以和3是方程的解，由根与系数的关系知，，解得，．（2）若（1），且，，所以，所以，当且仅当，即，时取得最小值为25．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了基本不等式应用问题，是基础题．19．已知，，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围．【分析】由已知结合指数的运算性质可得，，然后结合，展开后利用基本不等式可求，存在，，使得成立，则结合得成立，解不等式可求．【解答】解：因为，，且，所以，，当且仅当且，即，时取等号，故的最小值8，由的最小值4，又存在，，使得成立，所以，所以，解得，或，故的范围或．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化关系的应用，属于中档题．20．已知函数，且（1）．（1）若在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（2）若在区间上有零点，求实数的取值范围；（3）若在，上的最大值是2，求实数的的值．【分析】（1）由（1）可得，求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出的范围即可；（2）由在区间上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得关于的不等式组，解得实数的取值范围；（3）根据二次函数的图象开口方向朝上，对称轴为，分类讨论，与对称轴位置关系，进而结合在，上的最大值是2，可求实数的值．【解答】解：（1）函数，由（1），得，解得：；故，对称轴，若在区间上为单调函数，则或；（2）由（1），对称轴，又在区间上有零点，且的一个零点是1；所以．（3）的图象开口方向朝上，对称轴为．①当时，，则；②当时，（a），则，或（舍去）；③当时，（3），则（舍去）；综上：或．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．21．已知二次函数满足，的对称轴为，对于任意，都有．（1）求函数的表达式；（2）设，试求函数在区间，的最小值．【分析】（1）由代入可求，然后结合对称轴方程可得，再由对于任意，都有，结合二次函数性质可求；（2）先求出，然后结合二次函数的对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论，再由二次函数的性质可求．【解答】解：（1）满足，，的对称轴为，即，，对于任意，都有，即恒成立，，，，，（2），对称轴，开口向上，当即时，在，上单调递减，，当即时，在，上单调先减后增，，即时，在，上单调递增，（1），综上，．【点评】本题主要考查了由二次函数的性质求解函数解析式及二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用．22．已知函数．（Ⅰ）若的值域为，，求的值；（Ⅱ）已知，是否存在这样的实数，使函数在区间，内有且只有一个零点．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据一元二次函数图象知若的值域为，，则开口向上，△即可；（Ⅱ）函数在区间，内有且只有一个零点．即，等价于两个函数与的图象在，内有唯一交点，根据中是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的值域为，，则解得．（Ⅱ）由，即令，，，，原命题等价于两个函数与的图象在，内有唯一交点．（1）当时，在，上递减，在，上递增，而（1）（1），（2）（2），函数与的图象在，内有唯一交点．（2）当时，图象开口向下，对称轴为，在，上递减，在，上递增，与的图象在，内有唯一交点，当且仅当，即，即．．（3）当时，图象开口向上，对称轴为，在，上递减，在，上递增，与的图象在，内有唯一交点，，即即，．综上，存在实数，，使函数于在区间，内有且只有一个点．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合与分类讨论的思想方法，属于综合题．