2020-2021学年第三章 空间向量与立体几何综合与测试课后复习题

这是一份2020-2021学年第三章 空间向量与立体几何综合与测试课后复习题，共19页。试卷主要包含了线线平行，面面平行的证明方法等内容，欢迎下载使用。
《用空间向量法求解立体几何问题典例及解析》                                                    以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法一：利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是                 。向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有(2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。范围：直线和平面所夹角的取值范围是                 。向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与法向量所成角的余弦值为直线与平面所成的角为，则有或在平面内任取一个向量，则.(3)二面角二面角的取值范围是                    .二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的              即为所求的二面角的大小；方法二：设，分别是两个面的           ，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。二：利用空间向量求空间距离（1）点面距离的向量公式平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是                                ，即d=.（2）线面、面面距离的向量公式平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=                   .平面∥β，平面的法向量为n，点M∈、P∈β，平面与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.（3）异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指　　　　　　　　　　　　的向量，一条直线的方向向量有　　　个。②所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有　　　　　个。:2．线线平行证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。3线面平行证明线面平行的方法：（1）证明直线的方向向量与平面的法向量　　　　　　　　　　　；（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量　　　　　　　　　；（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是　　　　　　　　　　　　　。　4．面面平行的证明方法：（1）转化为　　　　　　　　　、　　　　　　　　　处理；（2）证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　　　。5利用空间向量解证垂直关系⑴．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　；⑵．线面垂直的证明方法：①证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　　　；②证明直线与平面内的　　　　　　　　　　　　　　；⑶．面面垂直的证明方法：①转化为证明　　　　　　　、　　　　　　　　　；②证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　。:典题赏析：题目1：.[2011·四川理]如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1∥平面BDA1；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．解：如图17－1，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．(1)在△PAA1中有C1D＝AA1，即D.∴＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)．设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则令c＝－1，则n1＝.图1－7∵n1·＝1×(－1)＋×2＋(－1)×0＝0，∴PB1∥平面BDA1，(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝.又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.题目2：如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，  为的中点.   （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为. （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得，  ∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.因此 ＝，所以线段BM的长||＝.题目3. 已知正方体的棱长为a．(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面所成的二面角余弦值解  (1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、，向量，，．设是平面的法向量，于是，有，即．令得．于是平面的一个法向量是．                                                    因此，到平面的距离．(也可用等积法求得)      (2) 由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是．                                       设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则．                                    题目4：已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值。证明：以为坐标原点长为单位长度，如图4-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为.（Ⅰ）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使要使为所求二面角的平面角.题目5：如图，平面，四边形是正方形， ，点、、分别为线段、和的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.解：（1）以点为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系如图示4-1，点、、、，则，.设异面直线与所成角为,所以异面直线与所成角大小为.（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.题目6：如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，. 已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；      （Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设  由，即  由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（Ⅱ）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故  即二面角的大小为总之，在利用空间向量解决立体几何问题时，经常是通过建立空间直角坐标系，及点的坐标做为沟通向量与几何图形关系的纽带和桥梁的，恰当建系，准确示点，是关键，故而，要适当的加强解题训练，并及时总结，感悟方法，提升能力。训练题：1.正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是(  C   )A   B     C      D与点的位置有关2. 空间中有四点，其中，，且，则直线和(   D )A平行  B平行或重合    C必定相交   D必定垂直3若向量夹角的余弦值是，则的值为(  C   )A.2       B.－2　　　　C.－2或　　　　D.2或4直线的方向向量为，平面内两共点向量，下列关系中能表示的是（D　）A.=    B.=  C.=   D.以上均不能5以下向量中与向量＝（1,2,3），＝（3,1,2）都垂直的向量为（　C　）A.(1,7,5)     B.(1,－7,5)   C.(－1，－7,5)　　D.（1，－7，－5）6在正方体中，棱长为，分别是和上的点，，则与平面的关系是(  B  )A.相交     B.平行     C.垂直   D.不能确定7已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底△ABC为直角三角形，∠C=90°；侧棱与底面成60°角，B1点在底面射影D为BC中点,若侧面A1ABB1与C1CBB1成30°的二面角，BC=2cm，则四棱锥A—B1BCC1的体积是（ B     ）
A      B.    C      D8．已知三个向量两两之间的夹角为，又，则(  C   )A.3        B.4        C.5        D.69. 在长方体中，，则到直线的距离为( A )A.      B.       C.           D.10. ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为                              (   A )A.     B.                  C.                   D.111. 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为 (  B   )       12. 对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|＝|a||b|sinθ(其中θ为向量a与b的夹角)，a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系.如图，在平行六面体ABCD－EFGH中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AE＝2，则＝         ( D )A. 4         B. 8           C.           D. 13. 设是平面外一点，点满足，则直线与平面的位置关系是　AP平面14. 在空间四边形中，分别是和对角线的中点，则平面与平面的位置关系是　　   平面⊥平面15.设正四棱锥S-ABCD的侧棱之长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于__16. 在空间直角坐标系中，对其中任何一向量，定义范数，它满足以下性质：，当且仅当为零向量时，不等式取等号； (2)对任意的实数，(注：此处点乘号为普通的乘号)。(3)。试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量，下面给出的几个表达式中，可能表示向量的范数的是____(把所有正确答案的序号都填上) (1)(4)(1)   (2) (3)(4)解答题：17. [2011·天津卷] 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．解：如图18-1所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)． (1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．设平面AA1C1的法向量＝(x，y，z)，则          即不妨令x＝，可得＝(，0，)．同样地，设平面A1B1C1的法向量＝(x，y，z)，则即不妨令y＝，可得＝(0，，)．于是cos〈，〉＝＝＝，从而sin〈，〉＝.所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.(3)由N为棱B1C1的中点，得N.设M(a，b,0)，则＝.由MN⊥平面A1B1C1，得即得∴|BM|=18.如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，，，。（1）求证：；（2）求点到平面的距离。 解：．（1）如图建系，则        ，        ，故。   （2），设平面的法向量为，        依题意，，取。        ，所以点到平面的距离。19. 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2． E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．(1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值．解：（I）以A为原点， 分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故         设向量与平面C1DE垂直，则有 （II）设EC1与FD1所成角为β，则20. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以,,因为所以,同法可得。故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角∴﹤﹥＝故二面角—AM—N的平面角的余弦值为。（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得, 故可取设与n的夹角为a，则。所以到平面AMN的距离为。21. 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.∵AEC1F为平行四边形，（II）设为面AEC1F的法向量，的夹角为a，则∴C到平面AEC1F的距离为 ，，即直线到平面BD的距离是．22．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。证明：以为坐标原点长为单位长度，如图25-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为.（Ⅰ）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使要使为所求二面角的平面角.23.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面．   （Ⅰ）证明：平面；   （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.   （Ⅰ）证明：不防设作，则， ，  由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.  ∴平面.   （Ⅱ）解：设为中点，则，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为24．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.   （Ⅰ）求的长；   （Ⅱ）求点到平面的距离.解：（I）建立如图28-1所示的空间直角坐标系，则，设.                           ∵为平行四边形，（II）设为平面的法向量，的夹角为，则∴到平面的距离为25．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；      （2）当为的中点时，求点到面的距离；      （3）等于何值时，二面角的大小为.解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，∴由  令，∴依题意∴（不合，舍去）， .∴时，二面角的大小为.26．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，. 已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；      （Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设  由，即  由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（Ⅱ）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故  即二面角的大小为27在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F 分别是AB、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)，、、（Ⅰ）（Ⅱ）28.已知正四棱柱中，，分别为的中点，平面.（I）求二面角平面角的正切值；（II）求点到平面的距离．解： （1）如图建立坐标系，设故、、、   即向量与面垂直设与面BDN垂直，则即  设所求二面角为，则， （2）由，在向量方向上的投影为，所以到面的距离为