高中人教版新课标A1.2 应用举例同步训练题

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课后巩固作业（四）

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题4分，共16分)

1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为（   ）

(A)10m       (B)20m       (C)20m       (D)40m

2.甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（   ） (A)2.15min           (B)h

(C)min            (D)21.5min

3.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量=(,-1)，=(cosA,sinA)，若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=（   ）

(A)        (B)        (C)        (D)

4.一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的（   ）

(A)北偏东75°

(B)东偏南75°

(C)北偏东75°或东偏南75°

(D)以上方位都不对

二、填空题(每小题4分，共8分)

5.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24米，则乙楼高CD=______米.

6.某船在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时该船到灯塔S的距离约为______海里（精确到0.01海里）．

三、解答题(每小题8分，共16分)

7.如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁.一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险?

8.如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行.问航行几小时两船之间的距离最短？

【挑战能力】

（10分）航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为180 km/h.飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420 s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取≈1.4,≈1.7）．

答案解析

1.【解析】选D.在Rt△ABD中，∠ADB=30°，

∴BD=AB，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB.

在△BCD中，由余弦定理，得

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，

∴3AB2=AB2+CD2-2AB·CDcos120°

整理得AB2-20AB-800=0，

解得，AB=40或AB=-20（舍）.

即电视塔的高度为40 m.

 2.【解析】选C.根据题意画出示意图，如图，假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，则BC=6t，BD=10-4t，∠DBC=120°.

在△DBC中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC

=(10-4t)2+36t2-2(10-4t)6tcos120°=28t2-20t+100，

∴当t=，即航行时间为h或min时，CD2最小，即甲、乙两船相距最近.

3.【解析】选A.由⊥，得cosA-sinA=0，得A=,

由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得：

sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，

即sin(A+B)=sinC=sin2C，得sinC=1,

所以C=，则B=.

4.【解析】选C.根据题意画出示意图，如图，由题意可知

AB=32×=16，BS=8，∠A=30°.     

在△ABS中，由正弦定理，得

∴S=45°或135°，∴B=105°或15°,

即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.

【方法技巧】解决有关角度问题的方法

首先应明确方位角和方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成数学问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

5.【解析】ED=AB=24米，在△ACD中，∠CAD=α+=90°，AE⊥CD,DE=24米，

则AD= =16(米)，

则(米).

答案：32

6.【解析】根据题意画出示意图可知，在△ABS中，

∠ABS=180°-75°=105°，∠BAS=30°,

∴∠ASB=45°，AB=30×=20(海里)，

由正弦定理，得

BS=

≈14.14(海里).

答案：14.14

7.【解题提示】过B作垂线BD,构造直角三角形,在Rt△ABD和Rt△CBD中，利用正切三角函数求解即可.

【解析】过点B作BD⊥AE交AE于D，

由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°,

在Rt△ABD中，AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°,

在Rt△CBD中，

CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°,

∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,

∴

=4>3.8,

∴该军舰没有触礁的危险.

8.【解析】如图，

设x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，

则BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°.

由余弦定理得

CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD，

即CD2=(100-50x)2+(30x)2-2(100-50x)·30x·cos60°

=100(49x2-130x+100)，

当时CD2最小，即CD最小,

所以航行小时两船之间距离最短.

【误区警示】解答本题方位角最容易出错，所以要根据题意找准角，正确画出示意图.

【挑战能力】

【解析】如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°,

∴∠ACB=30°,

AB=180 000×420×=21 000.

在△ABC中，

∴BC=·sin15°=10 500(),

∵CD⊥AD,∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°

=10 500()×

=10 500(-1)≈10 500(1.7-1)

=7 350,

∴山顶的海拔高度约为10 000-7 350=2 650(m）.