高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例学案

数学必修5导学案 编号_6  时间___________ 班级___  组别___   姓名________

【学习目标

1. 掌握正弦定理和余弦定理。

2. 应用正弦定理和余弦定理解决实际中距离，高度，角度等的测量问题。

【重点、难点】

重点：应用正弦定理和余弦定理解决实际中距离，高度，角度等的测量问题。

难点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法

自主学习案

【知识梳理】

     1．在三角形ABC中，各边和它所对角的正弦的比相等，即        =        =       =2R

   应用：正弦定理可以用来解决 两类解三角形的问题：

   ①已知_______________和任意一边，求另两边和另一角；

   ②已知_______________和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边和角.

2.（1）余弦定理及其变形形式

   应用：余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：

   ①已知三角形的三边，求三角形的三个角；

   ②已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其它两个角.

3．了解有关测量术语：仰角（目标视线在水平上方），俯角（目标视线在水平下方），方向角（从指定方向线到目标方向线的水平角），方位角（北方向线顺时针到目标方向线的水平角）.

【预习自测】

1．若P在Q的北偏东，则Q在P的   （  ）

A．东偏北      B。东偏北     C。南偏西    D。南偏西

2. 已知A，B两地相距10km，B,C两地相距20km,且∠ABC=120°，则A,C两地相距（    ）

  A.10km    B.km    C.km    D.km

3.海上有A，B两个小岛相距10千米，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望A岛和C岛成的视角，那么B岛和C岛间的距离是        千米。

【我的疑问】

合作探究案

【课内探究】

例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=45°，∠ACB=75°.求A、B两点间的距离.

变式：隔河看目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，同时测得

∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标之间的距离AB.

例2 如图，在山顶铁打上B处测得地面上一点A的俯角=60°，在塔底C处测得A处的俯角=45°.已知铁塔BC部分的高位24m，求出山高CD.

例3.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.

（1）求渔船甲的速度；

（2）求的值.

变式：海中一小岛，周围3.8千米内有暗礁.海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°.航行8千米以后，望见这岛在北偏东60°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？

【小结】

 解三角形应用举例中，在处理问题时一般要分以下几步：

（1）             分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图。

（2）             建模：根据已知条件与求解目标，将实际问题转化为抽象的数学问题。

（3）             求解：利用正余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解。

（4）      检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而求得实际问题的解。

【当堂检测】

1.在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔顶仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为（  ）

A．    B.  C.  D.

2.已知两灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向，则灯塔A与灯塔B的距离为（    ）

A.      B.      C.     D.2

3.在200m高的山顶上，测得山下一高楼的楼顶与楼底的俯角分别为30°和60°，则楼高_____.

课后练习案

1.如图，A,B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=120°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D是点C到水平面的射影，求山高CD.

2.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间。