高中数学人教版新课标A选修2-12.4抛物线练习题

第二章 圆锥曲线与方程 单元测试

A组题（共100分）

一．       选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．方程所表示的曲线是            （  ）

（A）双曲线           （B）椭圆   

（C）双曲线的一部分        （D）椭圆的一部分

2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是       （  ）

（A）   （B）1或–2   （C）1或  （D）1

3.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是        （  ）

（A）2        （B）      （C）      （D）

4. 若抛物线的准线方程为x=–7, 则抛物线的标准方程为        （  ）

（A）x2=–28y （B）y2=28x    （C）y2=–28x  （D）x2＝28y

5. 抛物线y2= 4x上一点P到焦点F的距离是10, 则P点的坐标是    （  ）

（A）（9, 6）  （B）（6, 9）     （C）（±6, 9）  （D）（9,±6）

二．       填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

6．双曲线的两个焦点分别为F1、F2, 双曲线上的点P到F1的距离为12, 则P到F2的距离为       .

7．双曲线的焦点到渐近线的距离等于             .

8．经过点P(4,–2)的抛物线的标准方程为                       .

9．已知点P(6, y)在抛物线y2=2px (p＞0)上，F为抛物线焦点， 若|PF|=8, 则点F到抛物线准线的距离等于       

三．       解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10．双曲线（a>0,b>0），过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求 △ABF2的周长.

11．焦点在y轴上的抛物线上一点P(m,–3)到焦点的距离为5, 求抛物线的标准方程.

12．已知抛物线y2=6x, 过点P(4, 1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线l的方程.

B组题（共100分）

四．       选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13．如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左准线距离是                                                                  （  ）

（A）   （B）   （C）   （D）

14．设0＜k＜a2, 那么双曲线与双曲线 有     （  ）

（A）相同的虚轴     （B）相同的实轴  （C）相同的渐近线  （D）相同的焦点

15．抛物线y=  x2 (a≠0)焦点坐标是                                   （  ）

（A）(0, )或(0, –) （B）(0, )   （C）（0 , )或(0,–)  （D）(0, )

16．若抛物线y2= 2px (p＞0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p的值等于                                                                                                                         （  ）

（A）2或18   （B）4或18  （C）2或16   （D）4或16

17．过抛物线y2= 2px（p＞0）的焦点F作一条直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线l的位置关系是                                      （  ）

（A）相交  （B）相离  （C）相切 （D）不能确定

五．       填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

18．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是                 .

19．若双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，则该双曲线的方程为            ．

20．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）,若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是             .

21．点M到点F(0, –2)的距离比它到直线l：y–3=0的距离小1, 则点M的轨迹方程是      .

六．       解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为y,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.

23．双曲线 (a>0,b>0)满足如下条件:(1) ab=;(2)过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.

24．过抛物线y= x2 的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB, 抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P, 求动点P的轨迹方程.

C组题（共50分）

七．       选择或填空题：本大题共2题。

25．双曲线右支上一点Ｐ(a, b)到直线l：y = x的距离则a+b=   （  ）（A）–        （B）   （C）或　  （D）２或–2

26．已知抛物线y2=–x与直线y=k(x + 1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是      .

八．       解答题：本大题共2小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

27. 直线y=kx+1与双曲线x2－y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点（－2,0）和AB的中点,求直线l在y轴上截距b的取值范围.

28．如图所示，点点P在轴上运动，M在x轴上，N为动点，且

   （1）求点N的轨迹C的方程；

   （2）过点的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点，的夹角为，求证：

参考答案

A组

一、1、C. 2、D. 3、C. 4、B. 5、D.

二、6、答：2或22. ||PF2|－12|=2a=10，∴|PF2|＝12±10.

7、答：2. 焦点F(3, 0)到渐近线2x－y＝0的距离为 = 2.

8、答：y2=x或x2=–8y. 当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2=ax，P点代入解得a＝1；当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程为x2=ay，P点代入解得a＝－8. ∴抛物线方程为y2=x或x2=–8y.

9、答：4. 由|PF|=6＋＝8,得p=4，即焦准距等于4.

三、10. 解  ∵|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|AF1|＝2a，

∴(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝4a,

又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，

∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋(|AF1|＋|BF1|)=4a＋m.

∴△ABF2的周长等于|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.

11、 解：依题意，设抛物线方程为为x2=－2py (p>0)

    点P在抛物线上，到准线的距离为5，又点P到x轴的距离为3，所以准线到x轴的距离为2，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2=–8y.

12、解：设l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，由y12=6x1、y22=6x2，

 得 (y1－y2)(y1+y2)=6(x1－x2)，

 又P(4, 1)是A、B的中点，∴y1＋y2=2，

 ∴直线l的斜率k= ＝3，∴直线l的方程为3x–y–11= 0.

B组

四、13、选A. 设P到右焦点的距离为|PF1|＝8，则P到左焦点的距离|PF2|＝2a＋|PF1|＝24.

e＝，∴P到左准线的距离d＝＝.

14、选D.

15、B. 将抛物线方程化为x2= ay，当a>0时，p＝，焦点为(0, )，

当a<0时，p＝－，焦点为(0, －)，也是(0, ).

16、A.

17、C. 设AB中点为M，AD⊥l于D，BC⊥l于C，MN⊥l于N. ∵|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=(|AD|+|BC|)=|AB|,∴以AB为直径的圆于抛物线的准线l相切.

五、18、(1, +∞),  ∵双曲线的焦点在y轴上，∴, ∴k>2.

∴c2=k－1＋k－2＝2k－3>1，∴c>1.

19．．

20. 答：. ∵ OA的垂直平分线的方程是，令y=0得到抛物线的焦点为（， 0），∴抛物线的准线方程为.

21、答x2=–8y. 设M(x,y), 依题意，且y<3.

化简得x2=–8y.

六、22. 解  设双曲线方程为y2－3x2=k (k0),

  当k>0时，a2=k,b2=,c2=此时焦点为(0,),

  由题意得3=,解得k=27，双曲线方程为 y2－3x2=27；

当k<0时，a2= －,b2=－k,c2= －,此时焦点为(,0),

由题意得3= ,解得k=－9,双曲线方程为y2－3x2=－9,

即3x2－y2=9.

∴所求双曲线方程为

y2－3x2=27或3x2－y2=9.

23. 解:设直线l: y= (x－c)，令x=0，得P(0, ),

设λ= ，Q(x,y)，则有，

又Q()在双曲线上,  ∴b2(c)2－a2(－c)2= a 2b2,

∵a2+b2=c2,∴, 解得=3,又由ab=,可得,

∴所求双曲线方程为.

24、解法一：设

 由消去y得：，.

 ∵OA ⊥OB，∴∴，

 所以,b≠0，

   ∴ b＝1，∴ 直线AB过定点M(0, 1),

 又OP⊥AB，∴点P的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），

 ∴点P的轨迹方程为.

解法二：设P(x,y)，lOB­：，lOA­：，分别代入y= x2，

 得.

 由得，消去k得点P的轨迹方程为

 .

C组

七、25、选B. ∵点P在直线l：y = x的下方，所以b<a, 所以得,又,∴.

26、答：直角三角形. 由得，

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

∵x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1 + 1)(x2 + 1)=1+k2(1－+1)=0，

∴·＝0，∴OA⊥OB，所以△AOB是直角三角形.

八、27.  解：设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+1与x2－y2=1联立得

 (1－k2)x2－2kx－2=0…………①,

又1－k20,方程①有两个不大于－1的不等实根,

∴, 即,

解得1<k<;AB的中点为（，）,

直线l的方程为y=, 截距b= ,

∴

28、解：（1）设

则

由    ①

0，0，即并代入①，

得为所求.

（2）设l的方程为

设则

说明：1、第15题为2007年广东高考理科数学试题.

   3、第23题为自编题，揭示了过抛物线顶点的两条互相垂直的弦端点连线过定点的规律.

      2、第28题改编题，综合了解析几何与平面向量基础知识和基本思想方法.向这也是这类问题命题的一个趋势.