人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试综合训练题

课题：圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题

教学目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.

（一）            主要知识及主要方法：

在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.

对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.

解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.

（二）典例分析：

问题1． （广东）在平面直角坐标系中，

抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足．

（Ⅰ）求得重心的轨迹方程；

（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由．

问题2．已知椭圆上的两个动点及定点 ，为椭圆的左焦点，且，，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；

设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.

问题3．（全国Ⅱ）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（）．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．

（Ⅰ）证明为定值；

（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．

问题4．直线：和双曲线的左支交于、两点，直线过点和线段的中点，求在轴上的截距的取值范围.

（四）课后作业：

已知椭圆（）的右焦点为，过作直线与椭圆相交于、两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.

过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，

求证：交抛物线的对称轴上一定点.

如图，在双曲线的上支上有三点，

，，它们与点的距离成等差数列.

求的值；证明：线段的垂直平分线经过

某一定点，并求此点坐标.

（六）走向高考：

（重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围.

（江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆

和上的点，则的最大值为      

（重庆）如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.

求椭圆的方程；在椭圆上任取三个不同点，使

证明：为定值，并求此定值.

(全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.

(全国Ⅱ)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．

(浙江)已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点、在双曲线的右支上，点到直线的距离为，
若直线的斜率为，且, 求实数的取值范围；
当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程.

（重庆文）如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.

求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；

若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.

（山东）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．