2021学年2.2椭圆第2课时同步达标检测题

第2章   2.2.2   第2课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)

A．－<a<　　　　　　　 B．a<－或a>

C．－2<a<2   D．－1<a<1

解析：　由点A在椭圆内部得＋<1

∴－<a<.故选A.

答案：　A

2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)

A．相切   B．相交

C．相离   D．不确定

解析：　直线y＝kx－k＋1恒过定点(1,1)．

又∵＋<1，∴点(1,1)在椭圆＋＝1内部．

∴直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．故选B.

答案：　B

3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)

A．3   B．2

C．2   D．4

解析：　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．

由

得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，

由题意得Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0

且a2－b2＝4，可得a2＝7，∴2a＝2.

答案：　C

4．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　)

A．5   B．6

C.   D．7

解析：　椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，

∴直线AB的方程为y＝x－4，

由得9x2＋25(x－4)2＝225，

由弦长公式易求|AB|＝.

答案：　C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

解析：　椭圆的右焦点为F(1,0)，

∴lAB：y＝2x－2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得3x2－5x＝0，

∴x＝0或x＝，

∴A(0，－2)，B，

∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.

答案：　

6．若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________．

解析：　设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，

则得x＋4y＝0.

由Δ>0得－<b<，

故－<x<.

答案：　x＋4y＝0

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．

解析：　(1)＋y2＝1.

(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，

则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3

＝x2＋(1－)－3＝x2－2，

∵x∈[－2,2]，

∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；

当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.

8．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.

(1)求椭圆C的焦距；

(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

解析：　(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.

所以椭圆C的焦距为4.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题意知y1<0，y2>0，

直线l的方程为y＝(x－2)．

联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2.

即＝2·，得a＝3.

而a2－b2＝4，所以b＝.

故椭圆C的方程为＋＝1.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴

被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．

(1)求C1，C2的方程．

(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

证明：MD⊥ME.

解析：　由题意知e＝＝，从而a＝2b.

又2＝a，所以a＝2，b＝1.

故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.

(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.

由得x2－kx－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.

又点M的坐标为(0，－1)，

所以kMA·kMB＝·＝

＝＝＝－1.

故MA⊥MB，即MD⊥ME.