2021学年2.2椭圆习题

这是一份2021学年2.2椭圆习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第2章   2.2.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)A．－9＜m＜25　　　　　　　 B．8＜m＜25C．16＜m＜25   D．m＞8解析：　依题意有，解得8＜m＜25，即实数m的取值范围是8＜m＜25，故选B.答案：　B2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1   B.＋y2＝1C.＋＝1   D.＋x2＝1解析：　c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.答案：　A3．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是(　　)A．6   B.C．24  D.解析：　∵3kx2＋ky2＝1，∴＋＝1.又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a2＝，b2＝，c2＝a2－b2＝－＝＝16，∴k＝.答案：　D4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为(　　)A．12   B．10C．9   D．8解析：　∵·＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a.又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝102－64，∴|PF1|·|PF2|＝18，∴△F1PF2的面积为9.答案：　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．解析：　由椭圆标准方程得a＝3，b＝，则c＝＝，|F1F2|＝2c＝2.由椭圆的定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.答案：　2　120°6．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．解析：　椭圆的左焦点F为(－1,0)，设P(x，y)，则＋＝1，·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.答案：　6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解析：　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴，∴，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.8．已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．解析：　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x＋y＝9.将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.所以点M的轨迹是一个椭圆．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解析：　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．∵F1A⊥F2A，∴·＝0，而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.