数学选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试综合训练题

第十五讲　导数的应用

班级________　姓名________　考号________　日期________　得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)

A．13万件　　　　　B．11万件

C．9万件     D．7万件

解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．

答案：C

2．(2011·荆州质检题)函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a的取值为(　　)

A．[2，＋∞)   B．[4，＋∞)

C．{4}    D．[2,4]

解析：f′(x)＝3ax2－3，当a≤0时，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；

当0<a≤1时，f′(x)＝3ax2－3＝3a，f(x)在[－1,1]上为减函数，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；当a>1时，f(－1)＝－a＋4≥0且f＝－＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4，故选C.

答案：C

3．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有(　　)

A．f(x)g(b)>f(b)g(x)

B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(x)>f(b)g(b)

D．f(x)g(x)>f(b)g(a)

解析：令y＝f(x)·g(x)，

则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，

由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，

所以y在R上单调递减，

又x<b，故f(x)g(x)>f(b)g(b)．

答案：C

4．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为(　　)

A.    B.

C.    D.

解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，

当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时f′(x)＝0，

∴f(x)是上的增函数，

∴f(x)的最大值为f＝e，

f(x)的最小值为f(0)＝.

∴f(x)在上的值域为.故应选A.

答案：A

5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥0  B．a<－4

C．a≥0或a≤－4  D．a>0或a<－4

解析：∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，

∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，

即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，

所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．

记g(x)＝－(2x2＋2x),0<x<1，可知－4<g(x)<0，

∴a≥0或a≤－4，故选C.

答案：C

6．(精选考题·江西)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为(　　)

解析：由导数的定义知，S′(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率．

如图，正五角星薄片中首先露出水面的区域I，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′(t)也应逐渐增大；当露出的是区域Ⅱ时，此时的S(t)应突然增大，然后增大速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S′(t)>0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S′(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．函数f(x)＝x＋的单调区间为________．

解析：f′(x)＝1－＝，

令f′(x)<0，

解得－3<x<0或0<x<3，

故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．

答案：(－3,0)，(0,3)

8．若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.

∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，

∴，∴－2<a<2.

答案：－2<a<2

9．函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，且在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则实数p的取值集合是________．

解析：由已知条件可知，f(x)在x＝0和x＝－2处分别取得极小值和极大值．∵f′(x)＝3x2－2px＝x(3x－2p)，

∴3×(－2)－2p＝0，∴p＝－3.∴p的取值集合是{－3}．

答案：{－3}

10．函数y＝sin2x－x，x∈的最大值是________，最小值是________．

答案：　－

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；

(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.

因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－<x<时，f′(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．

当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；

当x＝时，f(x)有极小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．

(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．

因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．

所以g(x)>g(1)＝－3.

所以k的取值范围是k≤－3.

评析：(1)利用导数求单调区间和极值．(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解．(3)将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解．

本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求较高．

12．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

解：显然a≠0.

f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．

令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．

(1)当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.

又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．

所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.

(2)当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.

又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)．

所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.

综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

评析：本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数a、b，注意对a的讨论和最大值、最小值的确定．

13．已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．

分析：通过求导先判断单调性再求最值．在求最值时，对a的情况要进行讨论．

解：f(x)＝x2e－ax(a>0)，

∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．

令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0<x<.

∴f(x)在(－∞，0)，上是减函数，

在上是增函数．

①当0<<1，即a>2时，f(x)在(1,2)上是减函数，

∴[f(x)]max＝f(1)＝e－a.

②当1≤≤2，即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，

∴[f(x)]max＝f＝4a－2e－2.

③当>2时，即0<a<1时，f(x)在(1,2)上是增函数，

∴[f(x)]max＝f(2)＝4e－2a.

综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e－2a，

当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2，

当a>2时，f(x)的最大值为e－a.

评析：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏．

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