高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理随堂练习题

第二章    推理与证明

2．1　合情推理与演绎推理

2．1.1　合情推理

1．下面使用类比推理恰当的是

(　　)．

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”

B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”

D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”

解析　由实数运算的知识易得C项正确．

答案　C

2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于

(　　)．

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111

1 234×9＋5＝11 111

12 345×9＋6＝111 111

…

A．1 111 110   B．1 111 111

C．1 111 112   D．1 111 113

解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.

答案　B

3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色

(　　)．

A．白色   B．黑色

C．白色可能性大   D．黑色可能性大

解析　由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．

答案　A

4．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________．猜想xn＝________.

解析　x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝

x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝.

答案　，，　

5．观察下列各式

9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….

这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．

解析　由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.

答案　(n＋2)2－n2＝4n＋4

6．已知正项数列{an}满足Sn＝，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.

解　a1＝S1＝，

又因为a1>0，所以a1＝1.

当n≥2时，Sn＝，Sn－1＝，

两式相减得：

an＝－，

即an－＝－，

所以a2－＝－2，又因为a2>0，所以a2＝－1.

a3－＝－2，又因为a3>0，所以a3＝－.

a4－＝－2，又因为a4>0，所以a4＝2－.

将上面4个式子写成统一的形式：

a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－，

由此可以归纳出an＝－.(n∈N＋)

7．下列推理正确的是

(　　)．

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay

B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y

C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn

D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)

解析　A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B错误，因为sin(x＋y)＝sin xcos y＋cos xsin y；对于C，则有(x＋y)n＝Cxn＋Cxn－1·y＋…＋C·xn－r·yr＋…＋Cyn；D正确，为加乘法的结合律，故选D.

答案　D

8．设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，猜想an＝

(　　)．

A．2cos    B．2cos

C．2cos    D．2 sin

解析　法一　∵a1＝2cos θ，

a2＝＝2 ＝2cos ，

a3＝＝2 ＝2cos ，…，

猜想an＝2cos .

法二　验n＝1时，排除A、C、D，故选B.

答案　B

9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)

试求第七个三角形数是________．

解析　观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝，∴当n＝7时，＝28.

答案　28

10．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质．

性质①_____________________________________________________；

性质②_________________________________________________________.

答案　六条棱长相等　四个面都全等

11．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．

(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；

(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．

解　(1)数列 S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等数数列，且公差为300.

该结论是正确的．(证明略)

(2)对于∀k∈N*，都有

数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.

12．(创新拓展)如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．

解　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.

于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，

则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.