高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明练习题

2.2　直接证明与间接证明

2．2.1　综合法和分析法

1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么

(　　)．

A．x<<y<2xy     B．2xy<x<<y

C．x<<2xy<y     D．x<2xy<<y

解析　∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，

则＝，2xy＝，∴x<2xy<<y，故选D.

答案　D

2．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于

(　　)．

A．1        B．－1 

C．0        D．±1

解析　奇函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0，∴f(0)＝＝＝0，

∴a＝1，故选A.

答案　A

3．已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的

(　　)．

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

解析　由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.

答案　C

4．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.

解析　∵f(x)＝lg，可分析f(x)为奇函数，

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.

答案　－b

5．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．

答案　分析法

6．设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.

证明　法一　分析法

要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．

只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，

又因a＋b＞0，

只需证a2－ab＋b2＞ab成立，

只需证a2－2ab＋b2＞0成立，

即需证(a－b)2＞0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．

由此命题得证．

法二　综合法

a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0

⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.

注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得

(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．

∴a3＋b3＞a2b＋ab2.

7．已知a>0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是

(　　)．

A．P>Q     B．P＝Q

C．P<Q     D．与a的值有关

解析　当a>1时，a3＋1>a2＋1，所以P>Q；当0<a<1时，a3＋1<a2＋1，所以P>Q.

答案　A

8．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是

(　　)．

A．(－∞，－2]     B．[－2,2]

C．[－2，＋∞)     D．[0，＋∞)

解析　用分离参数法可得a≥－(x≠0)，而|x|＋≥2，∴a≥－2，当x＝0时原不等式显然成立．

答案　C

9．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．

解析　本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．

答案　对角线互相垂直

10．若平面内有＋＋＝0，且||＝||＝||，则△P1P2P3一定是________(形状)三角形．

解析　可结合图形，利用向量的几何意义加以解决．

答案　等边

11．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

证明　由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.       ①

因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.      ②

由①②，得B＝.              ③

由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.          ④

由余弦定理及③，

可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.

再由④，得a2＋c2－ac＝ac，

即(a－c)2＝0，因此a＝c，

从而有A＝C.⑤

由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．

12．(创新拓展)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn是数列{an}的前n项和，证明：≤1.

(1)解　设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a5＝a1q4，

依题意，得方程组，

解得a1＝2，q＝3，∴an＝2·3n－1

(2)证明　∵Sn＝＝3n－1，

∴＝

≤＝1，

即≤1.