2020-2021学年1.1变化率与导数达标测试

1．2　导数的计算

1．2.1　几个常用函数的导数

1．2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

第1课时　基本初等函数的导数公式

1．已知f(x)＝x2，则f′(3)

(　　)．

A．0  B．2x  C．6  D．9

解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.

答案　C

2．f(x)＝0的导数为

(　　)．

A．0  B．1  C．不存在  D．不确定

解析　常数函数导数为0.

答案　A

3．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于

(　　)．

A．1  B．2  C．3  D．4

解析　对y＝xn进行求导，得n·2n－1＝12，代入验证可得

n＝3.

答案　C

4．设函数y＝f(x)是一次函数，已知f(0)＝1，f(1)＝－3，则f′(x)＝________.

解析　∵f(x)＝ax＋b，由f(0)＝1，f(1)＝－3，可知a＝－4，b＝1，∴f(x)＝－4x＋1，∴f′(x)＝－4.

答案　－4

5．函数f(x)＝ 的导数是________．

6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线y＝4x－7平行．

解　∵y′＝3x2＋1.

∴3x＋1＝4，∴x0＝±1.

当x0＝1时，y0＝1，此时切线为y－1＝4(x－1)

即y＝4x－3与y＝4x－7平行．

∴点为P(1,1)，

当x0＝－1时，y0＝－3，

此时切线y＝4x＋1也满足条件．

∴点也可为P(－1，－3)，

综上可知点P坐标为(1,1)或(－1，－3)．

7．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2010(x)＝

 (　　)．

A．sin x  B．－sin x  C．cos x  D．－cos x

解析　f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f2 010(x)＝f2(x)＝－sin x.

答案　B

8．下列结论

①(sin x)′＝－cos x；②′＝；

③(log3x)′＝；④(ln x)′＝.

其中正确的有

(　　)．

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

解析　在①中(sin x)′＝cos x，在②中′＝－，在③中(log3x)′＝，④正确．

答案　B

9．曲线y＝在点Q(16,8)处的切线的斜率是________．

答案　

10．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．

解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.

答案　x＋y－6＝0

11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．

解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，

∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，

由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，

即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，

∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.

12．(创新拓展)求下列函数的导数：

(1)y＝log4x3－log4x2；

(2)y＝－2x；

(3)y＝－2sin(2sin2－1)．

解　(1)∵y＝log4x3－log4x2＝log4x，

∴y′＝(log4x)′＝.

(2)∵y＝－2x＝＝.

∴y′＝()′＝－.

(3)∵y＝－2sin(2sin2－1)＝2sin(1－2sin2)

＝2sincos＝sinx.

∴y′＝(sin x)′＝cos x．