上海市杨浦区2022届高三上学期一模数学试题参考答案

这是一份上海市杨浦区2022届高三上学期一模数学试题参考答案，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
       评分参考一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1.          2. {1, 2}                  3. 1           4.  4   
5. 60              6.     3 9.180              10. 5                11.     2 4二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13. D                    14.C                      15.C
8. 8  12. 3n 4   16.B
  三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 
要的步骤.17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 解：（1）证明： 因为M 、N 为线段 A1B1 、C1B1 的中点， 1    1 因为A1C1 ∥AC ，所以 MN ∥AC .所以A, C, N, M 四点共面.（2） 作C1E CN 于点E ，①因为CC1  AC ，BC AC ，所以 AC 平面BCC1B1又C1E 平面BCC1B1 ，可得： AC C1E  ②由①、②得： C1E 平面ACMN
   C   1    C
   N  A
   B1    B
  1
         
连接AE ，则 C1AE 为直线AC1 与平面ACNM 所成的角； 由： ACC1 90 ，CA 3 、 CC1  4 ，可得： C1A 5 ； 1                可得： sin C1AE C1E 4 ，即 C1AE arcsin 4 1 所以直线AC1 与平面ACNM 所成角的大小为arcsin          
2 分    2 分     2 分
  另解：以 C 为坐标原点， CA 、 CB 、 CC1 所在直线为x, y, z 轴建立如图所示空间直角坐标系.                                                2 分则 C(0,0,0) ，A(3,0,0) ，A1(3,0, 4) ，B1(0, 4, 4) ，C1(0,0, 4)3                             （1）证明：因为点M 、 N 为线段A1B1 、 C1B1 的中点，所以M(   , 2, 4) 、N(0,2,4) 
所以： NM (   , 0, 0) ， CA (3, 0, 0)2所以： CA 2NM ，即 CA ∥NM所以A, C, N, M 四点共面；（2）解：直线C1A 的一个方向向量为C1A (3,0, 4) ，设平面ACNM 的一个法向量为n (u, v, w) ，
   2 分2 分2 分
 向量 CA (3, 0, 0) ，向量CN (0,2,4) ，由n CA 0 ，n CN 0 可得： 3u 0 ，且 2v 4w 0 ，即 u 0,v 2w 取平面ACMN 的一个法向量为n (0, 2,1)                         2 分 2
        
设直线AC1 与平面ACNM 所成角为， 则 sin  C1A n       4     4   所以直线AC1 与平面ACNM 所成角的大小为 18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（ 1） f (x) sin(2x     ) 0 ， 解得： 2x k ，即 x k   k Z  ， 3     7又x [0,]，所以： x        、   ，8        83     7即函数 f (x) 在[0,] 上的零点为   、   .8        8（2） f (x) sin x cos x ， g(x) (sin x cos x)2   cos2x 1 s i nx2   3 c s 2   1  因为 x [0,   ]    所以 2x [ , 5 ] ， 所以sin(2x ) [ 1 ,1]， 所以函数g(x) 的值域为[2,3] .19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 5                      5 5                          5
   2 分   2 分   2 分 2 分    2 分     4 分    2 分2 分  2 分4 分
 3
         
所以a2 、a3 分别是14.4 和14.88毫克.（2）由条件： a1  m ，an1    1 an  m  (n N*) ，5        1         54        5         4                 4          4    5                1                   1  5          1   1n1                            5        1    1n1  因为数列{an}单调递增，且nlan    4 m ,所以 5m 25 ，即 m 20 ，所以m 的最大值为20 . 
  2 分    2 分  2 分    2 分
  20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解：（1）由 F1F2   2 可知： 2c 2，即 c 1 .由椭圆定义， MNF1 的周长 4a 4，即 a , 
所以： b2  a2 c2  1 ,                   2 分 所以椭圆C 的方程： x2  y2  1 .           2 分 （2）设P(1, yp) 、Q(xQ , yQ) ，由xQ 1 0 ，可得 xQ  1 ，              2 分 由 1 y2  1，得： F1Q yQ        ，    2 分 1                       F1QP        2   1   2          1                2
y  x
4
       （3）若存在以F1Q 、 F1P 为邻边的矩形F1PEQ ，使得点 E 在椭圆C 上。 设P(1, yP ) 、Q(xQ , yQ) ,向量 F1P (2, yP ) 、 F1Q (xQ 1, yQ) ,因为 F1PEQ 为矩形   所以  F1 P  F1  Q    F1 且F1P F1Q    ,所以E xQ  2 , yP  yQ 且2(xQ  1) yP yQ  0  ,因为 点Q 、 E 在椭圆C 上, x y 1所以： yP    yQ 2    1 ，             2 分解得： xQ  1或xQ  2          （ 2 舍） ,              2 分所以满足要求的点Q 横坐标为 1或 2 .  21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）解：（1） f1(x) 与 g1(x) 具有性质P(I, 2) ,      2 分 f2 (x) 与 g2 (x) 不具有性质P(I, 2) .       2 分（2）证明： 假设存在x0  R ，使得 g(x0) s 0 ，     2 分设函数 g(x) 的一个周期为T ，由于定义域为R ，可以不妨设T 0 , 则对一切n N* ，均有 g(x0 nT) s ,  ①由条件，对于a s 0 ，存在区间I (M , ) ，  5
        
使得g(x) f (x) g(x) a .  ②在①中取n M x0   ，且 n N* ，则 x0 nT (M , ) ， 由②g(x0 nT) a ， 所以s s ，即 s 0 矛盾！ 假设错误， 即 g(x) 0 .
2 分      2 分
  
（3）设一次函数为 g(x) kx b(k 0) .则 
x2  kx b
1 对一切x 1[, m] 恒成立.
记： F x x2 kx b ，F 1 1 k b ， F 2 k b ，F m m2 km b F             F1()                           k                                           2 分  F(m) F                                        k            .               2 分 两式相减， 得 F(m) 2F1 m F1() 2 m 1 2 . 故： 2 2  4             解得1 m 1 2 .               2 分当且仅当F 1 F m 1 ， F 1 时等号成立,此时： k 2 2 ，b 2 2 ,所以： g(x) 2 2 x 2 2 时， m 取得最大值1 2 .       2 分   6