安徽省黄山市2020届高三下学期第二次质量检测数学（理）试题

黄山市2020届高中毕业班第二次质量检测

高三数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.D        2.A          3.C         4.C         5.B          6.D

7.C        8.D          9.A         10.D       11.C         12.A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.511      14.        15.           16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

解: （1）由

则

，而

     ……………………………………3分

所以 

而  ，又，所以

故         ………………………………………………6分

（2）由，，成等差数列  且

所以

   ……………………………………………………8分

又

则

   所以，

则   …………………………………12分

18.（本小题满分12分）

（1）证明： 因为，所以、、、四点共面.

又平面，而平面，所以 

由菱形，所以，令

且,所以平面

而平面，所以         …………………………3分

因为且平面，所以平面

则且

，，由菱形且所以

故，，则，

所以，即

又，所以平面，平面

平面平面    …………………………………………6分

（2）由菱形，所以，以，所在的直线分别为轴，轴，过做垂直于平面的为轴建立空间直角坐标系。

则，所以，,，

，

所以，，

令平面的一个法向量为，且，，

由,,所以

由，所以，即

令平面的一个法向量为，且，，

由,,所以

由，所以，即 ………10分

所以,则

即二面角的大小为      ………………………………………12分

19. （本小题满分12分）

解： （1）由题知 则

          ，所以

    解得，，

所以椭圆的方程为    …………………………………………………4分

（2）设，， ，令

则，故的方程为：

直线交轴于，所以令，则

则，故的方程为：

直线交轴于，所以令，则

     …………………………………………9分

因为

所以

         而所以

   而为椭圆上一点，所以

，所以      即  ………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：(1)方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P.

由题可知：，

则.

方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以.

(2) (ⅰ)由题可得的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.

所以，

取最大值的条件为

所以分布列为：

(ⅱ)解：由题可得，所以，

化简得，即是等比数列，首项为，公比为，

所以，化简得

由题可知：

（1）由题可知：，显然对所有都成立；

（2），也是对所有都成立；

（3）

当为偶数时，上述不等式恒成立；

当为奇数时，，解得即

综上所述，的最小值为5.

21.（本小题满分12分）

解： （1）

① 当时，，所以在上单调递增，无极值。

② 当时，令，得，

当时，；当时，

即函数在上单调递减，在 上单调递增，

此时只有一个极值点。

综上所述，当时，在上无极值点；

 当时，函数在上只有一个极值点。  ………………………………4分

（2）当时，由题即在上恒成立

令且

则

则且

（ⅰ）当时，即时

由于，，而

所以，故在上单调递增，所以

即，故在上单调递增，所以

即在上恒成立，故符合题意  ………………9分

（ⅱ）当时，即时

由于在上单调递增

令因为

故在上存在唯一的零点，使

因此，当时，，单调递减，所以

即，在上单调递减，故，与题不符

综上所述，的取值范围是    ………………………………………12分

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解： 的参数方程：（为参数）       

得

曲线的直角坐标方程：     ……………………………………2分

由

得

所以曲线的直角坐标方程为        ………………………………5分

（II）点的极坐标为，故其直角坐标为

由：，则其参数方程为

将的参数方程代入曲线的方程

得   ①

由于恒成立，不妨令方程①有两个不等实根，

由于，所以异号，且

则

  ………………………………………10分

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（1）由得

所以   由即

当，则          所以

当时，则         所以

当时，则        所以  

故解集为   ……………………………………………………5分

（2）因为，，且

则

当且仅当即，时，的最小值为.   …………………10分