人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试测试题

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分．

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)

1．在以下命题中，不正确的个数为(　　)

①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；

③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；

④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；

⑤|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.

A．2个　　　

B．3个　　　

C．4个　　　

D．5个

[答案]　C

[解析]　①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．

2．在正三棱柱ABC—A1B1C1D1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)

A．60° 

B．90° 

C．105° 

D．75°

[答案]　B

[解析]　建立空间直角坐标系，可求·＝0，故成90°.

3．已知△ABC，＝c，＝b，＝a，用向量a，b，c的数量积的形式表示△ABC为锐角三角形的充要条件是(　　)

A．b·c>0，a·c>0

B．a·b>0，b·c>0，a·c>0

C．a·b>0

D．a·b>0，b·c>0，a·c<0

[答案]　D

[解析]　由数量积的意义知D成立．

4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为(　　)

A．(－1,1,1)

B．(－1,1,1)或(1，－1，－1)

C．(－，，)

D．(－，，)或(1，－1,1)

[答案]　A

[解析]　代入坐标运算得D(－1,1,1)，故选A.

5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为(　　)

A．30° 

B．45° 

C．60° 

D．90°

[答案]　C

[解析]　∵A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，

∴＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)．

∴cos〈，〉＝＝，∴选C.

6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么AM与CN所成的角的余弦值是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

[答案]　D

[解析]　以D为坐标原点、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(0，，1)，＝(1,0，)，

∴cosθ＝＝(用基向量表示亦可)．

7．下面命题中，正确命题的个数为(　　)

①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；

②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；

③若n是平面α的法向量且a与α共面，则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．

A．1个 

B．2个 

C．3个 

D．4个

[答案]　D

[解析]　①②③④均正确，故选D.

8．直线l1的方向向量v1＝(1,0，－1)；直线l2的方向向量v2＝(－2,0,2)，则直线l1 与l2的位置关系是(　　)

A．平行 

B．相交

C．异面 

D．平行或重合

[答案]　D

[解析]　∵v2＝－2v1，∴l1∥l2或l1与l2重合．

9．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是(　　)

A.      B. 

C.      D．2

[答案]　D

[解析]　以、、为x轴，y轴，z轴的正向建立直角坐标系，则M(，0,3)，N(0，，3)，A(0,0,0)，

∵n＝(2,2，－1)，＝(3,0,0)，

∴d＝＝2，故选D.

10．如右图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值为(　　)

A.  　　

B.

C.  　　

D.

[答案]　B

[解析]　以DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1，，0)，则＝(1,1,1)，＝(1，－，0)，cos〈，〉＝，则sin〈，〉＝.

11．在棱长为a的正方体OABC－O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF，则异面直线A′F与C′E所成角的大小为(　　)

A．锐角     B．直角 

C．钝角     D．不确定

[答案]　B

[解析]　如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE＝BF＝x，则A′(a,0，a)、F(a－x，a,0)、C′(0，a，a)、E(a，x,0)，－(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，

∴·＝－xa＋a(x－a)＋a2＝0，

∴A′F⊥C′E.

12．如图，四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－PA－C的余弦值为(　　)

A.       B.

C.       D.

[答案]　C

[解析]　如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，AB＝1，

可以求得BD＝，ED＝.

∵＝＋＋，

∴2＝2＋2＋2·＋2＋＋2·.

∴·＝－.

∴cos〈，〉＝－.

∴cos〈，〉＝.

二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.

[答案]　0

[解析]　由于(2m＋n)·(m－3n)＝0，

可得：m·n＝－2，则：

a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝18.

|a|＝＝6，

|b|＝＝3，

cos〈a，b〉＝＝1，∴〈a，b〉＝0.

14．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，点D到平面ABC的距离为________．

[答案]　

[解析]　如图所示，AD⊥面BCD，AD＝，

BD＝CD＝BC＝，

∴VA－BCD＝×AD×S△BCD.

又∵VA－BCD＝VD－ABC＝×h×S△ABC，

∴由等积法可解得h＝.

15．如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．

[答案]　60°

[解析]　由于PA＝PB＝PC，故P在底面ABC上的射影为△ABC外心，由于△ABC为直角三角形，不妨设OB＝OC，所以OP⊥面ABC，∠PAO为所求角，不妨设BC＝1，则OA＝，cos∠PAO＝，所以∠PAO＝60°.

16．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．

[答案]　0

[解析]　由λ＋m＋n＝0，得＝－－.

根据空间直线的向量参数方程有－－＝1⇔－m－n＝λ⇒m＋n＋λ＝0.

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量．

[解析]　建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是＝(1,1,2)＝(－2,2,0)，＝(－2，0,1)，由于·＝－2＋2＝0，及·＝－2＋2＝0，∴⊥，⊥.

∴AC∩AP＝A，∴⊥平面PAC，

即是平面PAC的法向量．

18．(本小题满分12分)(2009·陕西)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)求二面角A－A1C－B的大小．

[解析]　(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.

在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，

由正弦定理得∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.

如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，

C(0，，0)，A1(0,0，)，

∴＝(1,0,0)，

＝(0，，－)，

∵·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0，

∴AB⊥A1C.

(2)解：如图，可取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，

设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)，

则·n＝0，·n＝0，又＝(－1，，0)，

∴∴l＝m，n＝m.

不妨取m＝1，则n＝(，1,1)．

cos〈m，n〉＝

＝＝，

∴二面角A－A1C－B的大小为arccos.

19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面ADG；

(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

[解析]　(1)证明：在△BAD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得，BD＝，

∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD，

又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，

GD∩AD＝D，∴BD⊥平面ADG，

(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

则有A(1,0,0)，B(0，，0)，G(0,0,1)，E(0，，2)，

＝(－1,0,1)，＝(－1，，2)，

设平面AEFG法向量为m＝(x，y，z)，

则，取m＝(1，－，1)，

平面ABCD的一个法向量n＝＝(0,0,1)，

设平面AEFG与面ABCD所成锐二面角为θ，

则cosθ＝＝.

20．(本小题满分12分)(2008·江苏)如图，设动点P在棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．

[解析]　由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．

由＝(1 ,1，－1)得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，

＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．

显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＝cos<，>＝<0，这等价于·<0，

即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得<λ<1.

因此，λ的取值范围为.

21．(本小题满分12分)(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．

(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；

(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．

[解析]　(1)因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以AD∥FC.

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，

又EE1⊂平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1.

(2)过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．

则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)

所以＝(0,2,0)，

＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．

由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.

又CC1⊥平面ABCD，

所以为平面FCC1的一个法向量．

设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则由得

即

取x＝1得，因此n＝，

所以cos<，n>＝＝＝＝.

故所求二面角的余弦值为.

22．(本小题满分14分)已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过点B作B1C的垂线交于CC1于E，交B1C于F.

(1)求证：A1C⊥平面EBD；

(2)求点A到平面A1B1C的距离；

(3)求ED与平面A1B1C所成角的正弦值．

[解析]　(1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A－xyz，设|CE|＝a，则C(3,3,0)，B1(3,0,4)，A1(0,0,4)，B(3,0,0)，D(0,3,0)．设E(3,3，a)，则＝(3,3，－4)，

＝(0,3，－4)，＝(－3,3,0)，＝(0,3，a)．

由BE⊥B1C，知·＝0，

即0·0＋3·3＋a·(－4)＝0.

∴a＝.

∴E(3,3，)，＝(0,3，)，

∴·＝0，·＝0，

∴A1C⊥BE，A1C⊥BD.

又BE∩BD＝B，∴A1C⊥平面EBD.

(2)易证A1B1⊥BE，∴可看作平面A1B1C的法向量n＝(0,3，)，

＝(－3，－3,0)．

∴点A到平面A1B1C的距离d＝＝.

(3)＝(－3,0，－)，

设ED与平面A1B1C所成角为θ.

则sinθ＝

＝＝

即ED与平面A1B1C1所成角的正弦值为.