数学第四章 框图综合与测试同步测试题

这是一份数学第四章 框图综合与测试同步测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确的是 ( )
A．复数的模总是正实数
B．复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应
C．如果与复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D．相等的向量对应着相等的复数
[答案] D
[解析] 相等的向量对应着相等的复数．
2．若复数z＝eq \f(1－\r(2)i,i)，则z的虚部为 ( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
[答案] B
[解析] ∵z＝eq \f(1－\r(2)i,i)＝eq \f(－i2－\r(2)i,i)＝－i－eq \r(2)，
∴z的虚部为－1.
3．(2009·辽宁文，2)已知复数z＝1－2i，那么eq \f(1,\(z,\s\up6(－)))＝ ( )
A.eq \f(\r(5),5)＋eq \f(2\r(5),5)i
B.eq \f(\r(5),5)－eq \f(2\r(5),5)i
C.eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i
D.eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i
[答案] D
[解析] 考查复数的运算及其共轭复数的概念．
eq \f(1,\(z,\s\up6(－)))＝eq \f(1,1＋2i)＝eq \f(1－2i,5)，∴选D.
4．集合M＝{x|x＝in＋i－n，n∈N}中元素个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] C
[解析] x＝in＋i－n＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2 n＝4m m∈N,0 n＝4m＋1或n＝4m＋3 m∈N.,－2 n＝4m＋2 m∈N))
5．非零复数z1，z2分别对应复平面内向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的关系有 ( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))
B．|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|
C.eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))共线
[答案] C
[解析] 由向量的加法及减法可知，在平行四边形OACB内，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)).
非零复数z1，z2分别对应复平面内向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，由复数加减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应eq \(OC,\s\up6(→))的模，|z1－z2|对应eq \(AB,\s\up6(→))的模，又因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，则|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以四边形OACB是矩形，因此eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，故选C.
6．定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，则符合条件eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1 －1,z zi))＝4＋2i的复数z为 ( )
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
[答案] A
[解析] 由定义eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1 －1,z zi))＝zi＋z，
∴zi＋z＝4＋2i.∴z＝eq \f(4＋2i,1＋i)＝3－i.
7．设a，b，c，d∈R，若eq \f(a＋bi,c＋di)为实数，则 ( )
A．bc＋ad≠0
B．bc－ad≠0
C．bc－ad＝0
D．bc＋ad＝0
[答案] C
[解析] eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)，因为eq \f(a＋bi,c＋di)为实数，所以其虚部eq \f(bc－ad,c2＋d2)＝0，即bc－ad＝0，故选C.
8．若复数z＝(a＋i)2对应的点在虚轴的下半轴上，则实数a的值为 ( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
[答案] C
[解析] ∵z＝(a＋i)2＝a2＋2ai＋i2＝(a2－1)＋2ai
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0,2a<0))，∴a＝－1.
9．已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，那么p，q的值分别为 ( )
A．－4,5
B．－4,3
C．4,5
D．4,3
[答案] A
[解析] －p＝2＋ai＋b＋i，q＝(2＋ai)(b＋i)＝(2b－a)＋(ab＋2)i.∵p，q为实数，∴a＝－1，ab＋2＝0，
∴b＝2，∴－p＝2＋b＝4，∴p＝－4，q＝2b－a＝2×2＋1＝5.
10．若复数z满足|z|－eq \x\t(z)＝eq \f(10,1－2i)，则z等于 ( )
A．－3＋4i
B．－3－4i
C．3－4i
D．3＋4i
[答案] D
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)
∴eq \r(a2＋b2)－(a－bi)＝eq \f(10,1－2i)
(eq \r(a2＋b2)－a)＋bi＝2＋4i
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a2＋b2)－a＝2,b＝4))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝4))，∴z＝3＋4i.
11．设f(z)＝1－eq \x\t(z)，z1＝2＋3i，z2＝5－i，则f(eq \x\t(z1－z2))＝ ( )
A．－4－4i
B．4＋4i
C．4－4i
D．－4＋4i
[答案] C
[解析] ∵z1＝2＋3i，z2＝5－i，∴z1－z2＝－3＋4i，eq \x\t(z1－z2)＝－3－4i
∴f(eq \x\t(z1－z2))＝1－(－3＋4i)＝4－4i.
12．两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、a2、b1、b2都是实数且z1≠0，z2≠0)对应的向量eq \(OZ1,\s\up6(→))和eq \(OZ2,\s\up6(→))在同一条直线上的充要条件是(O为坐标原点) ( )
A.eq \f(b1,a1)·eq \f(b2,a2)＝－1
B．a1a2＋b1b2＝0
C.eq \f(a1,a2)＝eq \f(b1,b2)
D．a1b2＝a2b1
[答案] D
[解析] 由题意知eq \(OZ1,\s\up6(→))＝(a1，b1)，eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(a2，b2)，
∴eq \(OZ1,\s\up6(→))∥eq \(OZ2,\s\up6(→))，∴a1b2－a2b1＝0.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2009·福建文，13)复数i2(1＋i)的实部是______．
[答案] －1
[解析] 本小题主要考查复数的概念、运算等基础知识．i2(1＋i)＝－1－i.
14．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m＋6)i}，m∈R，N＝{－1,3}，满足M∩N≠∅，则m＝______.
[答案] 3
[解析] 由M∩N≠∅，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m－1＝3,m2－5m＋6＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m－1＝－1,m2－5m＋6＝0))
∴无解或m＝3.
15．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i>0，则实数x＝______.
[答案] －2
[解析] 由(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i>0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1>0,x2＋3x＋2＝0))，∴x＝－2.
16．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________________．
[答案] eq \f(3,4)
[解析] z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝(2－m)＋(3m－1)i.依题意，设2－m＝3m－1，∴m＝eq \f(3,4)，适合题意．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知虚数z使得z1＝eq \f(z,1＋z2)和z2＝eq \f(z2,1＋z)都为实数，求z.
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z2＝x2－y2＋2xyi，
∴z1＝eq \f(x(x2＋y2＋1)＋y(1－x2－y2)i,(x2－y2＋1)2＋4x2y2)，
∵z1∈R，∴z1的虚部为0，又y≠0，
∴x2＋y2＝1.同理，由z2∈R得x2＋2x＋y2＝0，解得x＝－eq \f(1,2)，y＝±eq \f(\r(3),2).所以z＝－eq \f(1,2)±eq \f(\r(3),2)i.
18．(本题满分12分)已知复数z＝1＋i，如果eq \f(z2＋az＋b,z2－z－1)＝1－i，求实数a，b的值．
[解析] eq \f(z2＋az＋b,z2－z－1)＝eq \f((1＋i)2＋a(1＋i)＋b,(1＋i)2－(1＋i)－1)
＝eq \f((a＋b)＋(a＋2)i,－2＋i)＝1－i.
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)(－2＋i)＝－1＋3i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝－1，,a＋2＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
即实数a、b的值分别为a＝1，b＝－2.
19．(本题满分12分)已知复数z的共轭复数为eq \x\t(z)，且z·eq \x\t(z)－3iz＝eq \f(10,1－3i)，求z.
[解析] 设z＝a＋bi，∴eq \x\t(z)＝a－bi，
∴z·eq \x\t(z)－3i·z＝(a2＋b2＋3b)－3ai＝eq \f(10,1－3i)＝1＋3i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＋3b＝1，,－3a＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1,b＝－3))，
∴z＝－1或z＝－1－3i.
20．(本题满分12分)设虚数z满足|2z＋15|＝eq \r(3)|eq \x\t(z)＋10|.
(1)求|z|；
(2)若eq \f(z,a)＋eq \f(a,z)是实数，求实数a的值．
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
|2x＋2yi＋15|＝eq \r(3)|x－yi＋10|，
|z|＝eq \r(x2＋y2)＝5eq \r(3).
(2)eq \f(z,a)＋eq \f(a,z)＝eq \f(x＋yi,a)＋eq \f(a,x＋yi)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,a)＋\f(ax,x2＋y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,a)－\f(ay,x2＋y2)))i.
∵eq \f(z,a)＋eq \f(a,z)为实数，∴eq \f(y,a)－eq \f(ay,x2＋y2)＝0.
∵y≠0，∴eq \f(1,a)－eq \f(a,x2＋y2)＝0，
∴a2＝x2＋y2＝75，a＝±5eq \r(3).
21．(本题满分12分)复数z＝(2＋i)m2－eq \f(6m,1－i)－2(1－i)，求实数m，使复数z分别是
(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；
(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
[解析] z＝(2＋i)m2－eq \f(6m,2)(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)m＝2；(2)m≠1且m≠2；(3)m≠－eq \f(1,2)；(4)m＝0或m＝2.
22．(本题满分14分)已知复数z满足|z|＝eq \r(2)，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi.
由题意，得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1，或a＝b＝－1，
因此z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
则S△ABC＝1
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，则S△ABC＝1.