2020-2021学年1.1.2量词一课一练

选修1-1  1.3.1推出与充分条件、必要条件

一、选择题

1．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

2．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的(　　)

A．必要不充分条件     B．充分不必要条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

3．(2010·广东文，8)“x＞0”是“＞0”成立的(　　)

A．充分非必要条件     B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件    D．充要条件

[答案]　A

[解析]　本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出>0，而>0⇔|x|>0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.

4．(2009·四川文，7)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的(　　)

A．充分而不必要条件 　  B．必要而不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念．

由a－c>b－d变形为a－b>c－d，

因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，

∴a－c>b－d⇒a>b.

而a>b并不能推出a－c>b－d.

所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．

故选B.

5．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　命题p：(x－1)(y－2)＝0⇒x＝1或y＝2.

命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2.

由q⇒p成立，而由p⇒/ q成立．

6．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点，

若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.

7．设集合M＝{x|x>4}，P＝{x|x<6}，那么“x∈M且x∈P”是“x∈(M∩P)”成立的

(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　x∈M且x∈P⇔x∈(M∩P)．

8．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0<a<1，则p是q成立的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；当，即0<a<1时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R.

综上所述，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R时，0≤a<1，故选B.

9．设α、β∈R，α>1，β>1是α＋β>2且αβ>1的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既非充分也非必要条件

[答案]　A

[解析]　由⇒成立，

而当α＝，β＝3时，α＋β>2，αβ>1成立，

但α>1，β>1不成立．

10．△ABC中，sinA＝sinB是∠A＝∠B的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　△ABC中，sinA＝sinB⇔A＝B.

二、填空题

11．用“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：

(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；

(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________；

(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________．

[答案]　(1)必要不充分条件

(2)充分不必要条件

(3)既不充分也不必要条件

如3－1>2－0；5＋4>1－2 .

12．若x∈R，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值恒为正的充要条件是________________，恒为负的充要条件是______________．

[答案]　a>0且b2－4ac<0　a<0且b2－4ac<0

13．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的________条件．

[答案]　充分不必要

[解析]　点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.

14．直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直的充要条件是________．

[答案]　m＝－2或3

[解析]　l1⊥l2⇔2(m＋1)(m－3)＋(m－3)·2＝0⇔m2－m－6＝0⇔m＝－2或3.

三、解答题

15．下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：x＝1；q：x－1＝.

(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5.

(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．

[解析]　(1)充分不必要条件

当x＝1时，x－1＝成立；

当x－1＝时，x＝1或x＝2.

(2)充要条件

∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.

(3)充分不必要条件

∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．

16．不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．

[解析]　解法1：令f(x)＝x2－2mx－1

要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，只需f(x)＝x2－2mx－1在[1,3]上的最小值大于0即可．

1)当m≤1时，f(x)在[1,3]上是增函数，

f(x)min＝f(1)＝－2m>0，解得m<0，

又m≤1，∴m<0.

2)当m≥3时，f(x)在[1,3]上是减函数，

f(x)min＝f(3)＝8－6m>0，解得m<，

又m≥3，∴此时不成立．

3)当1<m<3时，f(x)min＝f(m)＝－m2－1＝－(m2＋1)>0不成立，

综上所述，m的取值范围为m<0.

解法2：由题设条件x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，∴2mx<x2－1，

∴m<－，

对一切1≤x≤3都成立，

∴函数g(x)＝－在[1,3]上是增函数，

∴g(x)≥g(1)＝0，对任意x∈[1,3]成立，∴m<0.

17．求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0对于一切实数都成立的必要条件是0<a<4.

[解析]　要使ax2－ax＋1>0对任意实数x都成立需考虑两种情况：

①当a＝0时，原不等式化为1>0，恒成立，符合题意；

②当a>0时，使Δ＝a2－4a<0，即0<a<4.

综上所述0≤a<4.

显然0<a<4是ax2－ax＋1>0对任意实数x都成立的必要条件．