高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理导学案

§1.3 正弦定理、余弦定理习题课

主备人：                审核人：             

学习目标

1. 进一步熟悉正、余弦定理，并能用正、余弦定理解决一些问题；

2. 掌握解三角形的四种类型。

学习过程

一、复习回顾

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有           =           =            = 2R

2、正弦定理的变形公式：

（1）边化角：=             ，=              ，=              ；

（2）角化边：         ，          ，           ；

（3）                      ；

（4）              。

4、余弦定理：

在中，有                ，                ，                ．

5、余弦定理的推论：

               ，                ，                ．

6、设、、是的角、、的对边，则：若，则；

若，则； 若，则．

7、解三角形的四种类型：

（1）已知三边解三角形，用           定理；

（2）已知两边和夹角解三角形，用         定理；

（3）已知两边和其中一边的对角解三角形，用        定理；（有三种情况：“有两解，一解，或无解”，用大边对大角进行判断。）

（4）已知两角和任一边解三角形，用          定理。

8、判断三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边。

具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理，③通过面积公式。

主备人：                审核人：             

二、典例分析

类型一    利用正、余弦定理解三角形

例1．在ABC中，已知，，，求b及A；

变式：设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求b．

类型二    判断三角形的形状

例2、在△ABC中，已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形。

变式：根据所给条件，判断的形状。

（1）；  （2）；（3）。

类型三    三角形面积问题

例3、在△ABC中，a、b是方程x2－2x+2=0的两根，且2cos(A+B)=－1.

(1)求角C的度数；(2)求c；(3)求△ABC的面积.

主备人：                审核人：             

变式：在中，，，，求的值和的面积。

三、总结提升

※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；

4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展

在ABC中，已知，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解；

②当A为锐角时，如果≥，那么只有一解；

如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测

1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（    ）.

A.     B.     C.     D.

2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（    ）.

　 A．135°    B．90°　 C．120°  D．150°

3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（    ）.

A．锐角三角形   B．直角三角形    C．钝角三角形   D．由增加长度决定

4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB＝          ．

5. 已知△ABC中，，试判断△ABC的形状                ．

主备人：                审核人：             

课后作业

1、在中，角的对边分别为．

（1）求；   （2）若，且，求．

2、在ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足，求角C．

3、在△ABC中，，,  求。

主备人：                审核人：             

正、余弦定理练习题

一、选择题

1、的内角的对边分别为，若，则等于（   ）

A．  B．2  C．  D．

2、在ABC中，，则B等于               （    ）

A.          B.            C.          D. 以上答案都不对

3、在ABC中，，则三角形的最小内角是 （    ）                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

A.             B.             C.        D.以上答案都不对

4、在ABC中，A =，b=1，面积为，求的值为   （　　）

A.　　　     B.　        C.　２　  　 D.　　

5、在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为     （    ）

A. 19    B.  -14     C. -18    D. -19

6、已知A、B是△ABC的内角，且，，则的值为     （    ）

A.        B.           C.   D.

7、ABC中，a=2，A=，C=，则ABC的面积为          （     ）

 A.               B.             C.        D.

8、在中，，则是          （    ）

  A. 等边三角形        B. 直角三角形     C. 等腰三角形    D. 等腰直角三角形

9、已知ABC中， AB=1，BC=2，则角 C的取值范围是             （    ）

A.        B.       C.      D.

10、在ABC中，若，那么ABC是  （    ）

A. 等腰三角形     B. 等边三角形     C. 直角三角形     D. 等腰直角三角形

11、若以2，3，为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围是        （    ）

            C.         　D.　

二、填空题

13、三角形两条边长分别为3cm，5cm，其夹角的余弦是方程的根，则三角形面积为      

14、在中，若A=60°，b=1，三角形的面积S=，则外接圆的直径为_________

15、ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，则角A=        

16、在中，已知，，则最大角的余弦值是___________

17、在△ABC中，，则的最大值是_______________。

三、解答题

18、在中，已知，，，求和的面积．

19、在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，

求AB

20、在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；

(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．