高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理学案设计

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理学案设计，共5页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．余弦定理
三角形中任何一边的______等于其他两边的______的和减去这两边与它们的____的余弦的积的______．即a2＝______________，b2＝__________________，c2＝_______.
2．余弦定理的推论
cs A＝______________________；cs B＝______________________；cs C＝______.
3．在△ABC中：
(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝______；
(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝______；
(3)若c2＝a2＋b2＋eq \r(2)ab，则C＝______.
一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A.eq \r(3) B．3
C.eq \r(5) D．5
2．在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,12)
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcs C＋ccs B等于( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．4
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cs B等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),3)
5．在△ABC中，sin2eq \f(A,2)＝eq \f(c－b,2c) (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．在△ABC中，已知面积S＝eq \f(1,4)(a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
二、填空题
7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
9．三角形三边长为a，b，eq \r(a2＋ab＋b2) (a>0，b>0)，则最大角为________．
10．在△ABC中，BC＝1，B＝eq \f(π,3)，当△ABC的面积等于eq \r(3)时，tan C＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，2cs(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
能力提升
13．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq \r(6)，BC＝1＋eq \r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
14．在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断三角形的形状．
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．1.2 余弦定理(一)
知识梳理
1．平方 平方 夹角 两倍 b2＋c2－2bccs A a2＋c2－2accs B a2＋b2－2abcs C 2.eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(c2＋a2－b2,2ca) eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
3．(1)90° (2)60° (3)135°
作业设计
1．A
2．B [∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
∴C＝eq \f(π,6).]
3．C [bcs C＋ccs B＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq \f(2a2,2a)
＝a＝2.]
4．B [∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝eq \r(2)a，∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq \f(3,4).]
5．B [∵sin2eq \f(A,2)＝eq \f(1－cs A,2)＝eq \f(c－b,2c)，∴cs A＝eq \f(b,c)＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)a2＋b2＝c2，
符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．]
6．B [∵S＝eq \f(1,4)(a2＋b2－c2)＝eq \f(1,2)absin C，∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcs C，∴sin C＝cs C，∴C＝45° .]
7．120°
8．30°
解析 ∵c2＝a2＋b2－2abcs C＝22＋42－2×2×4×cs 60°＝12，
∴c＝2eq \r(3).
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得，sin A＝eq \f(1,2).
∵ab，设最大角为θ，则cs θ＝eq \f(a2＋b2－\r(a2＋ab＋b2)2,2ab)＝－eq \f(1,2)，∴θ＝120°.
10．－2eq \r(3)
解析 S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \r(3)，
∴c＝4.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accs B＝13，
∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq \f(1,\r(13))，sin C＝eq \f(\r(12),\r(13))，
∴tan C＝－eq \r(12)＝－2eq \r(3).
11．解 由条件知：cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq \f(92＋82－72,2×9×8)＝eq \f(2,3)，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))2＋AB2－2·eq \f(AC,2)·ABcs A＝42＋92－2×4×9×eq \f(2,3)＝49，
∴x＝7.
所以所求中线长为7.
12．解 (1)cs C＝cs[π－(A＋B)]＝－cs(A＋B)＝－eq \f(1,2)，
又∵C∈(0°，180°)，
∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))
∴AB2＝b2＋a2－2abcs 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝eq \r(10).
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(\r(3),2).
13.eq \r(3)
解析 ∵cs C＝eq \f(BC2＋AC2－AB2,2×BC×AC)＝eq \f(\r(2),2)，
∴sin C＝eq \f(\r(2),2).
∴AD＝AC·sin C＝eq \r(3).
14．解 由余弦定理知
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
代入已知条件得
a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案