人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理学案设计

1.1.2  余弦定理

学习目标

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

学习过程

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各        和它所对角的    的    相等，即      =        =       ．

复习2：在△ABC中，已知，A=45，C=30，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学

※ 探究新知

问题：在中，、、的长分别为、、.

 ∵                ，

∴

同理可得：    ，

              ．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的    等于其他两边的      的和减去这两边与它们的夹角的       的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

，                      ，

                            ．

[理解定理]

（1）若C=，则   ，这时

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC中，，，，求．

（2）△ABC中，，，，求．

※ 典型例题

例1．在ABC中，已知，，，求b及A

变式1：在△ABC中，若则 (    )

A．    B．   C．   D．

例2. 在△中，已知，且，试确定三角形的形状。

变式2：在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？

三、总结提升

※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2. 余弦定理的应用范围：

① 已知三边，求三角；

② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※     知识拓展

在△ABC中，

若，则角是直角；

若，则角是钝角；

若，则角是锐角．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（    ）.

A．     B．    C．    D．

2. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（     ）.

A．        B．＜x＜5　

　C． 2＜x＜           D．＜x＜5

3．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（　　 　）

A．锐角三角形    B．直角三角形       C． 钝角三角形        D．非钝角三角形

4. 在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|－|＝________．

5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足，则∠C等于        ．

课后作业

1.. 已知在中，，，解此三角形。

2.. 如图，在四边形中，已知,， , , ，求的长.

1.1.2  余弦定理参考答案

※ 典型例题

例1．⑴解：∵

=cos

=

=

∴

求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos

 ∴

解法二：∵sin

又∵＞

＜

∴＜，即＜＜∴

变式1： D  或

例2.解：因为，由正弦定理得 。

由余弦定理，，得。

又因为，所以

∴ 得 ，∴.因此△为等边三角形。

变式2：在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？

解：

或，得或.  所以△ABC是直角三角形。

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. C   2. A   3．Ｃ   4．   5.

课后作业

1. 解：由余弦定理得：

∴    ∴

又    ∴，或

∴ 或

∴ ，，或，，

2. 解：在中，设，

则，    

即，   

∴，

∴，（舍去），

由正弦定理：，

∴．