高中数学人教版新课标A选修1-22.1合情推理与演绎推理导学案及答案

2.1　合情推理与演绎推理

2.1.1　合情推理

问题导学

一、归纳推理及其应用

活动与探究1

1．下面各列数都依照一定规律排列，在括号内填上适当的数．

(1)1,5,9,13,17，(　　)；

(2)，1，，，，(　　)；

(3)32,31,16,26，(　　)，(　　),4,16,2,11．

2．给出下列命题：

命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线的一个交点；

命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线的一个交点；

命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线的一个交点．

……

请观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)为___________________________________．

迁移与应用

1．观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

照此规律，第五个等式应为____________________．

2．已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3，…)．

(1)求a2，a3，a4；

(2)归纳猜想{an}的通项公式．

根据给出的数与式，归纳出一般结论的步骤：

(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；

(2)提炼出数、式的变化规律；

(3)运用归纳或类比推理写出一般结论．

二、类比推理及应用

活动与探究2

1．对于等差数列{an}，有如下一个真命题：“若{an}是等差数列，且a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，对于等比数列{bn}，有如下一个真命题：若{bn}是等比数列，且b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则__________．

2．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝________．

迁移与应用

在平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．

(1)类比定义：本类型题解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．

(2)类比性质(定理)：本类型题解决的关键是要理解已知性质(定理)的内涵及应用环境、使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”．

(3)类比方法(公式)：本类型题解决的关键在于从解题方法(或公式)中，获得使用方法(或公式)的启示或推导方法(或公式)的手段，从而指导解决新问题．

(4)类比范例：对有些提供范例的推理题，解答时可根据所给的信息与所求问题的相似性，运用类比的方法仿照范例，使问题得到解决．

答案：

课前·预习导学

【预习导引】

1．部分对象　全部对象　个别事实　一般结论　类似　已知特征　部分　整体　个别　一般　特殊　特殊

预习交流1　(1)凸n边形的内角和是(n－2)×180°

(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等

2．(1)已有的事实　观察　分析　比较　联想　归纳　类比　提出猜想

预习交流2　提示：(1)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；

(2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向；

(3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠．

课堂·合作探究

【问题导学】

活动与探究1　(1)21　(2)5　(3)8　21

解析：(1)相邻两项之间相差4，并且是逐渐变大的，所以应填入的数是17＋4＝21．

(2)把数的结构统一，，1，，，，…，会发现后一个数是前一个数的倍，所以括号中的数是×＝＝5．

(3)分成两列数，奇数位的数：32,16，(　　),4,2．偶数位的数：31,26，(　　),16,11，所以括号中的数依次是8,21．

活动与探究2　点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点　解析：由已知交点依次写为(1,12)，(2,22)，(3,32)，…，

∴命题n中交点为(n，n2)，直线中系数依次为1,2，3，…，∴命题n中直线的系数为n．

双曲线中系数依次为13,23,33，…，∴命题n中双曲线的系数为n3，

∴命题n为：点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点．

迁移与应用　1.5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81　解析：观察等式左侧：第一行有1个数是1，第二行是3个连续自然数的和，第一个数是2，第三行是5个连续自然数的和，第一个数是3，第四行是7个连续自然数的和，第一个数是4，第5行应该是连续9个自然数的和，第一个数为5，∴第5行左侧：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13；等式右侧：第一行1＝12，第二行9＝32，第三行25＝52，第四行49＝72，则第5行应为81＝92，

∴第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81．

2．解：(1)当n＝1时， a1＝1，

由an＋1＝(nN*)，得a2＝，

a3＝＝，

a4＝＝．

(2)由a1＝1＝，

a2＝，a3＝，a4＝，

可归纳猜想{an}的通项公式为an＝(nN*)．

活动与探究2　1．思路分析：等比数列是等差数列类比的“升级”，利用概念中体现出的四则运算的关系进行类比．“加”类比“乘”，“减”类比“除”，“乘”类比“乘方”，“除”类比“开方”．

＝1　解析：(s－1)与at，(t－1)与as是乘法，类比到数列{bn}中分别为，b．(s－1)at与(t－1)as是减法，类比到数列{bn}中为．又∵b1＝1，∴结论为＝1．

2．思路分析：解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．

R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)　解析：内切圆半径r内切球半径R，

三角形的周长：a＋b＋c三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，

三角形面积公式系数三棱锥体积公式系数．

∴类比得三棱锥体积

＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．

(证明时，三角形中的结论可用等面积法，三棱锥中的结论可用等体积法)

迁移与应用　1∶8　解析：∵两个正三角形是相似的三角形，

∴它们的面积之比是相似比的平方．

同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，

∴它们的体积比为1∶8．

当堂检测

1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了(　　)．

A．归纳推理 　　 B．类比推理

C．没有推理  　　D．以上说法都不对

答案：B　解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．

2．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是(　　)．

A．a100＝－a，S100＝2b－a

B．a100＝－b，S100＝2b－a

C．a100＝－b，S100＝b－a

D．a100＝－a，S100＝b－a

答案：A　解析：∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝a3－a2＝－a，a5＝a4－a3＝－b，a6＝a5－a4＝a－b，a7＝a，a8＝b，……，可得数列具有周期性，每连续6项为一个周期．

∴a100＝a4＝－a，S100＝S4＝2b－a．

3．下列类比推理恰当的是(　　)．

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay

B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y

C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(a＋b)n＝an＋bn

D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有：a·(b＋c)＝a·b＋a·c

答案：D　解析：类比推理结论正确的只有D，选项A，B，C可根据公式知是错误的．

4．在△ABC中，D为BC的中点，则，将命题类比到四面体中去，得到一个命题：______________________________________________________________

________________________________________________________________________．

答案：在四面体A－BCD中，G是△BCD的重心，则　解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．

5．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大数为b，则a＋b＝__________．

答案：30　解析：∵22的“分裂”是2个从1开始的连续奇数，

32的“分裂”是3个从1开始的连续奇数，

42的“分裂”是4个从1开始的连续奇数，

∴52的“分裂”应为5个从1开始的连续奇数．

∴52的“分裂”为，

∴b＝9．

又∵23,33,43的“分裂”依次是从3开始的连续奇数，

∴53的“分裂”中第一个数为21，

即a＝21，

∴a＋b＝30．