数学选修2-13.1空间向量及其运算学案

学习目标

1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．

学习过程

一、课前准备

（预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）

复习1：什么是平面向量与的数量积？

复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的数量积定义和性质

问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？

新知：

1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间    一点，作，则叫做向量与的夹角，记作          .

试试：

⑴ 范围:          =0时,    ;=π时,  

⑵ 成立吗？        ⑶  ，则称与互相垂直，记作    .

2) 向量的数量积：

已知向量，则          叫做的数量积，记作，即            .

规定:零向量与任意向量的数量积等于零

反思：

⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？

⑵     （选0还是）⑶ 你能说出的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：    

（1）设单位向量，则．（2）   ．（3）   ＝    .

4) 空间向量数量积运算律：

（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律

反思：

⑴ 吗？举例说明.⑵ 若，则吗？举例说明.⑶ 若，则吗？为什么？

※ 典型例题

例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

变式1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.

求证：．

例2  如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值

变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（  ）

A.  60°   B.  90°  C.  105°     D.  75°  

例3 如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,,,==60°,求的长.

※ 动手试试

练1. 已知向量满足，，，则____.

练2. , 则的夹角大小为_____.

三、总结提升

※ 学习小结

1..向量的数量积的定义和几何意义.

2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.

※ 知识拓展

向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列命题中：

①若，则，中至少一个为②若且，则

③④正确有个数为（    ）

A. 0个   B. 1个     C. 2个     D. 3个

2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（   ）

A.    B.     C.      D.

3.已知中，所对的边为，且,,则=    

4. 已知，，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是      .

5. 已知向量满足，，，则____

课后作业：                    

1. 已知空间四边形中，，，求证：.

2. 已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, 线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.