高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明学案

【学习目标】

1．     理解综合法和分析法的概念及区别

2．     熟练的运用综合法分析法证题

【重点难点】:

综合法和分析法的概念及区别

模块一: 自主学习，明确目标

一：知识链接

1．     合情推理：

2．              演绎推理：

二：阅读教材

1. 直接证明:

2. 综合法：

3. 分析法:

4.综合法的证明步骤用符号表示:

5.分析法的证明“若A成立,则B成立”的思路与步骤;

模块二：合作释疑

例1: 已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

例2: 在ΔABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且A，B，C成已知:a,b,c三数成等比数列,.求证: .

例3.求证：

例4（分析法）已知

模块三：巩固训练，整理提高

一．    课堂总结

二．    通过本节课的学习，你有哪些收获？

1．知识上

2．思想方法上

3.反思

二．课堂测试

       下列正确命题的序号是________.

①若,则;  ②若,则

③若,则;  ④的最小值是2.

       函数                   (     )

A.是偶函数,但不是奇函数      B.是奇函数,但不是偶函数

C.既是奇函数,又是偶函数     D.既不是奇函数,又不是偶函数

3. 定义在上的函数在上是增函数,且函数为偶函数,则f(-1), f(4), f()的大小关系是__________________________________.

【作业】：

1.求证: .

2.已知二次函数的导数为,,对于任意实数x,都有,则的最小值为(    )

A  3       B          C  2           D 

【课题】                          2.2反证法

【学习目标】：

理解反证法的概念,掌握反证法证题的步骤

【重点难点】：

重点：反证法的概念及应用

难点：反证法合理性的理解以及用反证法证明具体问题

模块一: 自主学习，明确目标

一：知识再现

1.直接证明的定义: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.

2.命题的四种形式:原命题,逆命题,否命题,逆否命题.原命题与逆否命题同真假

二：新课探究

1. 间接证明定义:间接证明不是从正面论证命题的真实性,而是考虑证明它的等价命题,或是证明命题的否定不成立,一间接地目的达到证题的目的.
2. 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.
3. 反证法的步骤:

①     反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反而成立.

②     找矛盾:由“反设”出发,通过正确地推理,导出矛盾---与已知条件已知公理,定义,定理,反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.

4. 结论:结论的反面不正确,肯定结论成立
5. 反证法适宜什么样的证明题

①   直接证明较困难，可考虑使用反证法 

②命题的结论部分含有“不可能、唯一、至少、至多”等特殊词语，可考虑使用反证法。

模块二：合作释疑

例1.

例2. 求证不是有理数

例3 若,且,求证: 或中至少有一个成立.

三．    课堂总结

四．    通过本节课的学习，你有哪些收获？

1．知识上

2．思想方法上

3.反思

课堂巩固

1、结论“至多有两个解”的否定形式是___________。

A、没有解            B、没有解或至少有三个解

C、至少有三个解      D、至少有两个解

2、用反证法证明“设a、b、c∈Z，且ax2+bx+c=0有有理根，

求证： a、b、c中至少有一个是偶数”，其反设应是_______。

3、用反证法证明：“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是

锐角”。有一个同学的证明如下，你认为是否正确。

 证明：假设∠B是直角，因为∠C是直角，所以∠B+∠C=180º

       所以∠A+∠B+∠C>180º，这与三角形内角和定理矛盾，

       所以∠B一定是锐角。

4、已知a、b∈R，若a+b>1，求证：a、b之中至少有一个不小于1/2

【作业】

1. 已知函数(a>1).

(1) 证明:函数在上为增函数.

(2) 用反证法证明方程没有负数根.

2.设函数对定义域内任意实数都有,且成立.

求证：对定义域内任意x都有.