高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明学案及答案

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杜学云

2.2.2反证法

                               课前预习学案

一、预习目标：

使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.

二、预习内容：

提出问题：

问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？

学生尝试用直接证明的方法解释。

采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．

问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？

分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.

推进新课

  在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法

 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、   学习目标

（1）使学生了解反证法的基本原理；

（2）掌握运用反证法的一般步骤；

（3）学会用反证法证明一些典型问题.

二、学习过程：

例1、已知直线和平面，如果，且，求证。

解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；

证明：因为,

所以经过直线a , b 确定一个平面。

因为，而，

所以 与是两个不同的平面．

因为，且，

所以.

下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 .

点评：用反证法的基本步骤：

第一步  分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步  作出与所证不等式相反的假定；

第三步  从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步  断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利

变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.

例2、求证：不是有理数

解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．

证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,

因此，，

所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有

，即

所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！

由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．

点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

变式训练2、已知，求证：（且）

例3、设二次函数，  求证：中至少有一个不小于.

解析：直接证明中至少有一个不小于.比较困难，我们应采用反证法

证明：假设都小于，则

                                （1）

      另一方面，由绝对值不等式的性质，有

             （2）

    （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。

变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于

反思总结：

1.反证法的基本步骤：

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

2.归缪矛盾：

（1）与已知条件矛盾；

（2）与已有公理、定理、定义矛盾；

（3）自相矛盾。

3.应用反证法的情形：

(1)直接证明困难;

(2)需分成很多类进行讨论；

（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；

（4结论为 “唯一”类命题；

当堂检测：

1. 证明不可能成等差数列．

2．设，求证

证明：假设，则有，从而

    因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。

课后练习与提高

一、选择题

1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）

Ａ．假设都是偶数

Ｂ．假设都不是偶数

Ｃ．假设至多有一个是偶数

Ｄ．假设至多有两个是偶数

2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）

Ａ．与的假设都错误

Ｂ．与的假设都正确

Ｃ．的假设正确；的假设错误

Ｄ．的假设错误；的假设正确

3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）

Ａ．有两个内角是钝角  Ｂ．有三个内角是钝角

Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角

二、填空题

4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．

5. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．

三、解答题

6．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．