数学选修2-22.2直接证明与间接证明导学案

§2.2.2  反证法

学习目标

1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；

2. 了解反证法的思考过程、特点;

3. 会用反证法证明问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：直接证明的两种方法:       和       ;

复习2：       是间接证明的一种基本方法.

二、新课导学

学习探究

探究任务：反证法

问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?

问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?

新知：一般地，假设原命题     ，经过正确的推理，最后得出    ，因此说明假设    ，从而证明了原命题     .这种证明方法叫          .

试试：

证明：不可能成等差数列.

反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

典型例题

例1 已知,证明的方程有且只有一个根.

变式：证明在中,若是直角,那么一定是锐角.

小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于.

小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.

动手试试

练1. 如果,那么.

练2. 的三边的倒数成等差数列,求证:.

三、总结提升

学习小结

1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.

2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.

知识拓展

空城计与反证法

空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.

诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（    ）.

A．假设三内角都不大于

B．假设三内角都大于

C．假设三内角至多有一个大于

D．假设三内角至多有两个大于

2. 实数不全为0等价于为（    ）.

A．均不为0

B．中至多有一个为0

C．中至少有一个为0

D．中至少有一个不为0

3.设都是正数，则三个数（    ）.

A．都大于2           B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2   D.至少有一个不大于2

4. 用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为                              .

5. “”是“”的          条件.

课后作业

1. 已知,且.试证:中至少有一个小于2.

2. 证明不是有理数.