高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用学案

1.33函数的最大（小）值与导数

【学习目标】

 1.理解函数的最大值和最小值的概念；

 2.掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤。

【学习重难点】

重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系

【学习过程】

一、学前准备：

1：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的     点，是极   值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的        点，是极     值

2：已知函数在时取得极值，且，（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断时函数有极大值还是极小值，并说明理由.

 二、合作探究：

    函数的最大（小）值

    问题：观察在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？     

    在图1中，在闭区间上的最大值是    ，最小值是       ；

    在图2中，在闭区间上的极大值是    ,极小值是       最大值是     最小值是        .

新知：一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.

试试：

上图的极大值点        ，为极小值点为     ；最大值为          ，最小值为      

    反思：

    1函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

    2.函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的    条件

    3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.

    典型例题

例1 求函数在[0,3]上的最大值与最小值.

小结：求最值的步骤

（1）求的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.

例2  已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是1；

若存在，求出，若不存在，说明理由.

变式：设，函数在区间上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.

【学习检测】

1.（A)下列说法正确的是(    )

    A. 函数的极大值就是函数的最大值    B. 函数的极小值就是函数的最小值

    C. 函数的最值一定是极值         D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值

2.(A)函数y = f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M = m,则f′(x) (   )

    A.等于0   B.大于0    C.小于0   D.以上都有可能

3 (B)若函数在区间上的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（    ）

A．2    B．4    C．18    D．20

4.(B) 函数 （    ）

A．有最大值但无最小值

B．有最大值也有最小值

C．无最大值也无最小值

D．无最大值但有最小值

5 (B)已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ）

A．     B．   C．  D．或

6.(B)求函数在区间上的最大值与最小值．

7. (C)已知在区间上的最大值是5，最小值是，求的解析式。

8(C) 为常数，求函数的最大值.

9(C)已知函数，（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.