高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数导学案

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数导学案，共8页。学案主要包含了预习目标，预习内容，提出疑惑，教学方法，课时安排，教学过程等内容，欢迎下载使用。
课前预习学案
一、预习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
二、预习内容
1．利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数在某个区间可导，
如果在这个区间内，则为这个区间内的 ；
如果在这个区间内，则为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
回答：
提示： f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为 函数．
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.
2掌握利用导数判断函数单调性的方法.
学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.
二、学习过程
【引 例】
1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解答：，
问 1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？
解答：，
2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？
解答：，
2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
解答：，
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
研究二次函数的图象；
画出二次函数的图象，研究它的单调性。
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
回答：
我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
观察图像，能得到什么结论
回答：
【新课讲解】
根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？
一般地，设函数在某个区间可导，
如果在这个区间内，则为这个区间内的 ；
如果在这个区间内，则为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
回答： [来源:高考学习网XK]
提示： f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为 函数．
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其 有关，因此我们可以用 去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
求证：在上是增函数。
归纳步骤：1、 ；2、 ；3、 。
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
小结：用导数求函数单调区间的步骤：
；
；

【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )

y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
课后练习与提高
１．（2007年浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
２．已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
３．函数的单调递增区间是_____________．
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：陈振静
1.3.1函数的单调性和导数教案
一、教材分析
以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
三、教学重点难点
教学重点：利用导数判断函数单调性。
教学难点：利用导数判断函数单调性。.
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
【引 例】
1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解：，在上是减函数，在上是增函数。
问：1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？
都是反映函数随自变量的变化情况。
2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？
（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）
2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
（1）能画出函数的图象吗？
（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？
1、研究二次函数的图象；
学生自己画图研究探索。
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：
①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；
在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；
注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？
2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
观察三次函数的图象；（几何画板演示）
观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）
一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有，则为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。[来源:学。科。网Z。X。X。K]
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
求证：在上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
因为 ，，
所以 ，即，
所以函数在上是增函数。
注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
由学生叙述过程老师板书：
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
确定函数f(x)的定义域；
求函数f(x)的导数f′(x).
令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)