高中人教版新课标A1.1变化率与导数导学案及答案

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☻基础热身：
1．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取
2
B
C
A
y
x
1
O
3
4
5
6
1
2
3
4
值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
2. 如图，函数的图象是折线段，其中
的坐标分别为，则 ；
．（用数字作答）
3．设曲线在点处的切线与直线垂直， 则 ．
☻知识梳理：
1. 平均变化率： 函数从到的平均变化率＝ ．
2. 导数的概念： 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么相应地有
10．函数的增量= ；
20．函数的平均变化率＝ ；
30.若存在, 则称为函数在处的瞬时变化率
也就是f（x）在点x处的导数. 即== .
3. 导数的几何意义： 函数在处的导数就是切线的斜率,即=
4. 导函数： 当变化时,便是的一个函数, 称它为的导函数(简称导数),
的导函数有时记作,即 ；
5. 几种常见函数的导数:
① ② ③; ④;
⑤;⑥ ⑦; ⑧.
。
☆ 案例分析：
例1.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）

例2. 已知f(x)=1＋
求f(x)在区间[1，2]，[，1]上的平均变化率；
求f(x)在x=1处的瞬时变化率。
例3. ①直线是曲线的一条切线，则实数 。
②设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
③已知f(x)=x3＋2x2,则= ．
例4.设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
例5.设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积
为定值，并求此定值。
参考答案:
☻基础热身：
1.【答案】A
【解析】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标
为, 且（为点P处切线的倾斜角），又∵，
∴，∴
2. 【标准答案】: 2 -2
【试题分析】: f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.
【高考考点】: 函数的图像，导数的几何意义。
【易错提醒】: 概念“导数的几何意义”不清。
3. 【答案】 2【解析】，∴切线的斜率，所以由得
例1. 【标准答案】D
【试题解析】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x).
【高考考点】导函数的意义
【易错提醒】有的同学只知道导函数反映单调性,却不知道它还可以反映斜率的变化.
例2. （1）－，－2；（2）－1．提示：联想定义．
例3. ①（【答案】
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。
②【答案】D
【解析】
③3x2＋3x△x＋（△x）2＋4x＋2△x ．提示：直接计算．
例4. 【答案】B
【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。
例5. 【试题解析】１）方程可化为，当时，；
又，于是，解得，故
（２）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为
，即
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；
故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为６；