数学选修2-21.1变化率与导数导学案

这是一份数学选修2-21.1变化率与导数导学案，共2页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，学习检测，小结与反思等内容，欢迎下载使用。

了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
会求函数在某点的导数；理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率
【学习重难点】
重点：导数的求解方法和过程，导数符号的灵活运用；
难点：导数概念的理解、认识和运用。
【学习过程】
学前准备
1：气球的体积V与半径之间的关系是，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.
2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：. 求在这段时间里，运动员的平均速度.
二、合作探究：
探究一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究二：导数
问题2： 瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即
注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率
(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.
典型例题
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：）为. 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.
例2 已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，
(1)当t=2，Δt=0.01时，求.
(2)当t=2，Δt=0.001时，求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度
小结：
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量；
第二步：求平均变化率；
第三步：取极限得导数.

【学习检测】
1. (A) 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）
A．从时间到时，物体的平均速度；
B．在时刻时该物体的瞬时速度；
C．当时间为时物体的速度；
D．从时间到时物体的平均速度
2.(A) 在 =1处的导数为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
3. (B)在中，不可能（ ）
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
4（B) 如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为
5.（B) 若，则等于
6.（B) 求曲线y = f(x) = x3在时的导数．
7 (C)高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度是：(单位: m),求运动员在时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
8. （C） 已知
(1) 求在处的导数
(2) 求在处的导数
【小结与反思】