2020-2021学年1.1变化率与导数学案

1.1.3导数的几何意义

【学习目标】

1. 了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2. 理解曲线的切线的概念；

3. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

【学习重难点】

重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

难点：导数的几何意义．

【学习过程】

一、学前准备

1：曲线上的连线称为曲线的割线，

  斜率             

2：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值也相应地改变              ，如果当          时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点的瞬时变化率.

记作：当      时，           

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二、合作探究：

  探究1.  曲线的切线及切线的斜率：

      参见课本图1.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？

我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

   问题：⑴ 割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？

         ⑵ 切线PT的斜率为多少？

容易知道，割线的斜率是              ，当点沿着曲线无限接近点P时，  无限趋近于切线PT的斜率，即

点拨：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

         ②切线斜率的本质—函数在处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.多个.

    探究2. 导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即

点拨：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点处的导数（变化率） ，得到曲线在点

的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

     探究3：导函数

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时, 是一个确定的数，这样,当x变化时, 便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，

即:

注意：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

探究4：函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系

（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极

     限，它是一个常数，不是变数。

 (2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数，函数f(x)的

     导函数是由 函数f(x)经过 变换得到的；此函数的名字就叫

     或

  (3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函

      数在点处的导数的方法之一。

【学习检测】

1.  (A) 已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（    ）

A. 4      B. 16      C. 8     D. 2

2. (A)  曲线在点处的切线方程为（    ）

A．          B．

C．           D．

3. (A)  在可导，则（    ）

A．与、都有关  B．仅与有关而与无关

C．仅与有关而与无关  D．与、都无关

4. (B)若函数在处的导数存在，则它所对应的曲线在点的切线方程为               

5. (B)已知函数在处的导数为11，则

=                      

6(B) 求曲线在点处的切线．

7. (C) 在抛物线上，哪一点的切线处于下述位置？

     (1) 与x轴平行                      （2）平行于第一象限角的平分线

 8.  (D) 在抛物线上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛

      物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.

【小结与反思】