人教版新课标A必修52.1 数列的概念与简单表示法教案设计

§2.1 数列的概念与简单表示法

教学目的：

1.通过本节学习,让学生理解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,把数列融于函数之中;

2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;

3.理解递推公式的意思,能类比函数画出数列通项公式的图象;

4.理解通项公式与递推公式的异同;

5.通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过日常生活重的大量实例,鼓励学生动手试验,大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度;

6.通过本节章头图的学习,体会数学来源于生活,理解大自然的丰富多彩,感受“大自然是懂数学的”,从而提高学生学习数学的兴趣.

教学重点：

1.理解数列及其有关概念;

2.了解数列的通项公式和递推公式的意义,并能根据通项公式或递推公式写出数列的前几项;

3.了解数列和函数之间的关系.

教学难点：

1.根据数列的前几项,归纳出数列的通项公式;

2.理解递推公式和通项公式的关系;

3.数列的递推公式及其应用的处理技巧.

教学过程：

一、引入新课：

创设情景

引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列……都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?都遵循了什么样的规律?真是神奇而又奥妙.插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣树木分别是,你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个,你说奇妙不奇妙?这种规律就是我们将要学习的数列.

引例

1.国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数

2.某班学生的学号由小到大排成一列数

3.1984年至2008年,我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数

  像上面这些例子中,按一定次序排成的一列数,它们有什么共同特点?

共同特点:

  (1)每一项都是一个数;

  (2)这些数在排列上按一定顺序来.

二、讲解新课：

1.数列的概念

  按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第项,…,排在第位的数称为这个数列的第项.

  注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.

2.数列的记法

  数列的一般形式可以写成:,可简记为.其中是数列的第项.

3.数列的通项公式

  如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

  注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一.

         如,

它的通项公式可以是,也可以是.

      (2)通项公式的作用:①求数列中的任意一项;

②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.

4.数列的本质

  从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集(或它的子集)的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.

5.数列的分类

  (1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.

     项数有限的数列叫做有穷数列;

项数无限的数列叫做无穷数列.

  (2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.

     一个数列从第项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;

     一个数列从第项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;

     各项相等的数列叫做常数列;

     一个数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.

6.递推公式

  已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.

  注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.

三、讲解范例：

例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列个数:

     (1);      (2).

     (3)            (4)

解: (1)      (2)

(3)       (4)

类型题: 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式.

        (1)                    (2)

        (3)            (4)

        (5)            (6)

        (7)        (8)

        (9)                (10)

答案: (1)               (2)

      (3)               (4)

      (5)             (6)

      (7)            (8)

      (9)                      (10)

点评: 这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式.但是学生应该注意到,数列的通项公式并不是唯一的.常用下列手段来解决这类问题:

        ①用和来调整符号;

②各项均化为分数,平方数,指数,对数及同类式子再找规律;

③借助一些特殊的数列:

④有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示.

例2 根据下面数列的通项公式,写出前项.

     (1)    (2)    (3)

解: 略

例3 在数列中,,通项公式是项数的一次函数.

     (1)求数列的通项公式,并求;

     (2)若,求数列的通项公式.

解: 略

例4 已知数列的通项公式为.

     (1)试问是否是数列中的项?

     (2)求数列的最大项;

     (3)若,求.

解: 略

例5 已知数列

     (1)写出这个数列的一个通项公式;

     (2)根据判断数列的增减性和有界性.

解: (1)

    (2)因为

       所以数列是递增数列

       又因为

       所以数列是有界数列.

例6 已知数列的首项,且,写出这个数列的前项.

解: 略

例7 (1)已知数列的首项,且,试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式.

     (2)在数列中,,(),试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式.

解: 略

例8 设数列是以为首项的正数列,且,求数列的通项公式.

解: 略

类型题1: 已知数列满足,,写出前项,并猜想.

类型题2: 已知数列满足,,写出前项,并猜想.

类型题3: 已知数列满足,,写出前项,并猜想.

例9 已知数列的递推公式是,且.求:

  (1);  (2)是这个数列中的第几项? 

例10 若记数列的前项和为,试证明.

证明: 略

变式题1: 已知数列的前项和为,求.

变式题2: 已知数列的前项和为,求.

变式题3: 已知数列的前项和为,求.

例11 如图中的三角形成为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.(P30 例2)

解: 略

例12 如图是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成,其中,

记的长度所在的数列为()

(1)写出数列的前项;

(2)写出数列的一个递推关系式;

(3)求的通项公式;

(4)如果把图中的三角形继续做下去,那么的长度分别为多少?

解: 略

补充练习:

1.下列说法正确的是( C )

A. 数列可以表示为

B. 数列与数列是相同的数列

C. 数列的第项为

D. 数列可记为

2.设数列的通项公式是( B )

  A.    B.   C.   D.

3.已知数列中,,则等于( A )

  A.           B.          C.           D.

4.已知数列的首项且,则等于( D )

  A.            B.          C.          D.

5.已知数列满足,则数列是( A )

  A. 递增数列      B. 递减数列    C. 摆动数列    D. 常数列

6.已知数列满足,若,则等于( D )

  A.            B.            C.            D.

7.数列的一个通项公式是___________.()

8.数列满足,则是这个数列的第____项.()

9.数列的前项的积为,则这个数列的第项与第项的和是________.()

10.已知数列的前项和为,且,则_________.()

11.数列满足,,写出数列的前项.

   (前项依次为)

12.已知数列的通项公式为,且,求和.

()

13.已知数列满足,,求.

   ()

14.(1)已知数列的前项和,求.()

   (2)已知数列的前项和,求.()

15.已知数列中,,,,求.

解: 由得

    由得  又得,于是

    所以