数学必修52.1 数列的概念与简单表示法教案设计

数列、极限、数学归纳法·等比数列的概念·教案

 

教学目标
1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式．
2．逐步体会类比、归纳的的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力．
3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．
教学重点和难点
重点：等比数列概念的形成及通项公式的应用．
难点：对概念的深刻理解．
教学过程设计
（一）引入新课
师：前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列——等比数列．
（板书）三 等比数列
（二）讲解新课
师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举例说明你对等比数列的理解．
（要求学生能主动利用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解）
生：数列1，3，9，27，…
师：你为什么认为它是等比数列呢？
生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列．
（先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维）
师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．
 

师：你对等比数列的理解呢？
生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．
师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子．

（若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了）
师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．
生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．
师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．
说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？
生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．
生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．
师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．
（板书）1．定义 如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．
（教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等，应写为同一个常数更准确）
师：记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题，先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列，如果是，公比是多少？

（可让学生作短暂的讨论，再找学生回答）
生：形如a，a，a，…这样的数列一定是等差数列（这一点可以由等差数列的定义加以证明）．但它未必是等比数列．
师：能具体解释一下吗？
生：当a=0时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数列，a≠0时，此数列是等比数列．
师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步认识等比数列有什么帮助吗？从中得到什么启示吗？
生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一项都要做分母，所以均不能为零．
师：这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，从另一个角度上讲，数列各项均不为零是这个数列成等比数列的什么条件呢？
生：是必要非充分条件．
师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识．
（板书）2．对定义的理解
 

下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列，要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢？
生：两个条件．
师：哪两个条件？
生：可以是首项和公比
 

（板书）例1 一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值．
师：拿到这个题目，你打算怎样设计你的求解方案，或者说对这个题目有什么想法．
生：想求出首项和公比．
师：为什么要求出它们呢？
生：有了首项和公比，就有了通项公式，就可以求出数列中任何一项．
师：好，这就是计算中要抓基本量的思想．首项和公比就是等比数列的两个基本量．下面我们具体开始解，大家共同完成这个题目的求解．
师：通过这个小题的计算，发现这类型题目主要是方程思想的应用．应用过程中主要是三个基本步骤：设、列、求，通过刚才的实践，你们觉得在这三步上应该注意什么呢？
生：设未知数应注意设等比数列的基本量首项和公比．在解方程组时，通常会用到乘除消元的方法．
师：总结得不错，在注意以上几点的同时，还应注意利用分析综合法寻求已知和所求之间的联系，以达到简化运算的目的．
下面我们一起看例2．
 

（四）小结
师：这节课主要学习了一个重要概念等比数列和一个重要的公式等比数列的通项公式．
（1）对于这个概念要注意与等差数列的类比中把握它们的区别与联系．
（2）对于通项公式除了记住内容，了解推导之外，关键是能用方程观点去认识，并应用它解决有关问题．
（五）布置作业
课本习题（略）
课堂教学设计说明
等比数列是在等差数列之后介绍的，因此它的数学方法不能简单地重复等差数列．应当既（体现）出两者的联系，又有所变化且有所提高．因此在教学方法上突出了类比思想的使用，教师为学生创造好使用的条件，引导学生自己研究相关内容如定义、表示方法．通项公式及对公式的认识，通过学生的研究，探索，加上老师概括总结，既充分发挥学生的主体作用又体现教师的主导作用．
等比数列的通项公式应用是等比数列这段知识的重点，也是本节课的重点，方程思想的应用是公式应用的核心和关键．所以必须了解方程思想应用的特点，首先必须用方程的观点去认识等比数列的基础知识；再从本质上把握公式其次在运用方程思想解题时，对于设元要抓好其中的关键量；最后在运用方程思想时需恰当应用整体代入，设而不求，如例1的计算应注意把a2=2的条件整体代入到所求的a8中，从而使a1设而不求．