人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试导学案

§1.1   正弦定理

主备人：   马琦   审核人：   王英志  

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、复习回顾

回忆初中所学的三角形的知识，回答下列问题：

1、三角形的内角和=                      。

2、三角形的三边之间的关系：                                                    。

3、三角形的边、角之间的关系：                                                 。

4、的基本元素：                                                          。

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（下面我们推导锐角三角形的情况）

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．（请你课后自己推导）

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的     的比相等，即．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，              ，；

（2）等价于             ，，．

（3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；             ．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如；              ．

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※     典例探究

类型一   已知两角及一边解三角形

例1. 在中，已知，，cm，解三角形．

变式：在中，已知，，cm，解三角形．

类型二   已知两边及一边的对角解三角形

例2. 在．

变式：在．

类型三   判断三角形的形状

例3  在中，已知，试判断三角形的形状。

变式：已知在中，，且，试判断三角形的形状。

三、总结提升

※ 学习小结

1. 正弦定理：

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，

还有②等积法，③外接圆法，④向量法.

3．应用正弦定理解三角形：

 ①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展

，其中为外接圆直径.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测

1、在中，若，则是（      ）.

A．等腰三角形    B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形    D．等边三角形

2、已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（      ）.

　A．1∶1∶4         B．1∶1∶2　         C．1∶1∶       D．2∶2∶

3、 在△ABC中，若，则与的大小关系为（      ）.

A.                      B.      

C. ≥                     D. 、的大小关系不能确定

4、 已知ABC中，，则=             ．

5、 已知ABC中，A，，则=            ．

课后作业

1、已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．

2、已知△ABC中，，b=2，A=，解此三角形。

3、在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知

      (I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求c的长．

正弦定理练习题

一、选择题

1．在△ABC中，若，则等于（    ）

A．   B．   C．   D．

2．若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（    ）

A．        B．         C．    D．

3．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（     ）

A．直角三角形    B．锐角三角形  C．钝角三角形    D．等腰三角形 

4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（    ）

A．       B．         C．          D．

5．在△中，若，则等于（    ）

A．    B．     C．   D．

6．在△ABC中，若角为钝角，则的值（    ）

A．大于零   B．小于零    C．等于零   D．不能确定

7．在△ABC中，若，则等于（    ）

A．   B．  C．   D．

8．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ）

A．直角三角形  B．等边三角形       C．不能确定    D．等腰三角形 

二、填空题

1．在△ABC中，，则的最大值是_______________。

2．在△ABC中，若_________。

3．在△ABC中，若_________。

4、在△ABC中，若，则             。

三、简答题

1、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．求B的大小；

2、已知中，，求角B,边。

3、已知中，,解此三角形。

4、在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值； （II）若，求的值。