2021学年2.1 数列的概念与简单表示法学案

第9课时等比数列的概念和通项公式

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学习要求

1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，

2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法,

3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.

【自学评价】

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）

注:1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q

｛｝成等比数列=q（,q≠0）

2 隐含：任一项

3 q= 1时，{an}为常数列.

2.等比数列的通项公式

①

②

3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

4.等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且

5．证明数列为等比数列：

①定义：证明=常数，

②中项性质：；

【精典范例】

【例1】判断下列数列是否为等比数列：

（１）１，１，１，１，１；

（２）０，１，２，４，８；

（３）1，，，，.

【解】

（１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．

（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．

（３）所给数列是首项为１，公比为的等比数列．

【例2】求出下列等比数列中的未知项：

（１）２，ａ，８；

（２）－４，ｂ，ｃ，．

【解】

（１）      根据题意，得

所以ａ＝４或ａ＝－４．

（２）  根据题意，得

解得

所以ｂ＝２，ｃ＝－１．

【例3】在等比数列{an}中，

（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；

（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．

【解】

（１）由等比数列的通项公式，得

（２）设等比数列的公比为ｑ，那么

所以

【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．

【解】设插入的三个数为，，，由题意知243，，，，3成等比数列．

设公比为ｑ，则

因此，所求三个数为８１，２７，９，

或－８１，２７，－９．

追踪训练一

1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：

（1）２，６，１８，５４，…；　

（2）7，，，

（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；

（4）5，　，，.

【答案】

(1)

(2)

(3)

(4)

2.  数列m,m,m,…m, ( C  )

A. 一定是等比数列  

B.既是等差数列又是等比数列

C.一定是等差数列不一定是等比数列  

D.既不是等差数列，又不是等比数列

3.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an+an+1},{an+1－an}，{}{nan}这四个数列中，是等比数列的有(C  )

A.1个     B.2个   C.3个  D.4个

【选修延伸】

【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.

【解】设这三个数分别为

解得 

这三个数为

故由题意又可得

解得

这三个数为3，5，7

【例6】已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.

【证明】 由lgan＝3n＋5，得an＝103n+5    ＝1000

∴数列｛an｝是公比为1000的等比数列.

【点评】 若｛an｝是等差数列，bn＝ban可以证明数列｛bn｝为等比数列，反之若｛an｝为等比数列且an＞0，则可证明｛lgan｝为等差数列.

追踪训练二

1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于(D  )

A.48   B.72    C.144      D.192

2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n等于___4___.

3．已知等比数列{an}的公比q=－,则=___－3___.

4．已知数列｛an｝为等比数列，

(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，

求a3＋a5.

(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.

【解】

(1)由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a12q8＝25

即a12q4(1＋q2)2＝25

∴a1q2(1＋q2)＝5

因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5

(2)由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知

①÷②得即2q2－5q＋2＝0解得q＝2或q＝

当q＝2时，a1＝1  ∴an＝2n－1当q＝时，a1＝4  ∴an＝23－n