2022届新高考一轮复习 第六章 平面向量 第1讲 平面向量的基本概念与线性运算 教案

这是一份2022届新高考一轮复习 第六章 平面向量 第1讲 平面向量的基本概念与线性运算 教案，共21页。教案主要包含了向量的有关概念与向量的表示，向量的线性运算，向量共线定理等内容，欢迎下载使用。
第六章  平面向量第1讲  平面向量的基本概念与线性运算复习要求1．通过对力、速度、位移概念的理解，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．2．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加，减运算及运算规则，理解其几何意义．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．知识梳理一、向量的有关概念与向量的表示1．既有大小又有方向的量叫做向量；2．向量的大小叫做向量的长度（或称模），向量，的模分别记做，；3．长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于一个单位的向量叫做单位向量；4．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；5．长度相等且方向相反的向量叫做相反向量；6．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量，规定：0与任一向量平行． 二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 三、向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa．一平面向量的基本概念及理解【例1】下列说法正确的是（    ）A．若，则或 B．若为相反向量，则C．零向量是没有方向的向量 D．若是两个单位向量，则【变式1．1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1．2】给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4二平面向量的线性运算【例2】如图所示，在中，，，若，，则（    ）A． B． C． D．【变式2．1】如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（    ）A．  B．C．  D．【变式2．2】在中，，，设，则（    ）A． B． C． D．【例3】在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【变式3．1】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．三向量共线定理【例4】已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（    ）A． B． C． D．【变式4．1】已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是（    ）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形【例5】已知O，A，B是不共线的三点，且．（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1．   【变式5．1】如图所示，在中，分别是，的中点，，，．（1）用，表示向量，，；（2）求证：，，三点共线．  课后作业一、选择题．1．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ）A． B． C． D．2．已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（    ）A．5 B．3 C． D．23．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ）A． B． C． D． 二、填空题．4．如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法：①都是单位向量；②，；③与相等的向量有3个；④与共线的向量有3个；⑤与向量大小相等、方向相反的向量为．其中正确的是_______．(填序号)5．已知向量，，，，，则一定共线的三点是_________．6．中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为________．7．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与共线，与共线，则与也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；④的充要条件是且；⑤已知为实数，若，则与共线．其中真命题的序号是________．三、解答题．8．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求的值．                     【例1】下列说法正确的是（    ）A．若，则或 B．若为相反向量，则C．零向量是没有方向的向量 D．若是两个单位向量，则【答案】B【解析】若，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A错；若为相反向量，则它们的和为零向量，B对；零向量的方向是任意的，C错；两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错，故选B．【变式1．1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错，所以正确的命题的个数为1，故选B．【变式1．2】给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误，综上，正确的命题是①③，故选B．   【例2】如图所示，在中，，，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，故选B．【变式2．1】如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（    ）A．  B．C．  D．【答案】A【解析】，，故选A．【变式2．2】在中，，，设，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在三角形中，，，可得，因为，所以，所以，故选C．【例3】在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，为边的中点，为的中点，，，，，同理，，与共线，存在实数，使，即，即，解得，，，当且仅当，即时，“”成立，的最小值是，故选C．【变式3．1】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．【答案】【解析】如图所示，中，，∴，又点点在线段上移动，设，，∴，又，∴，∴，∴当时，取到最小值，最小值为，故答案为． 【例4】已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】若、、三点共线，则向量，即存在实数，使得，，，，可得，消去得，即、、三点共线的充要条件为，故选B．【变式4．1】已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是（    ）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形【答案】A【解析】因为，所以，因为，是不共线的非零向量，所以且，所以四边形是梯形，故选A．【例5】已知O，A，B是不共线的三点，且．（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）证明：若m+n=1，则，，故，即，，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线．（2）证明：若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故．【变式5．1】如图所示，在中，分别是，的中点，，，．（1）用，表示向量，，；（2）求证：，，三点共线．【答案】（1），，；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，，，分别是，的中点，∴，，∴．（2）由（1）知，，∴，∴与共线，又∵与有公共点，故，，三点共线．   一、选择题．1．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，，故选D．2．已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（    ）A．5 B．3 C． D．2【答案】C【解析】因为，是非零向量，且互相垂直，所以，因为共线，所以当且仅当有唯一一个实数，使，即，所以，又因为，不共线，所以，故选C．3．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意画出草图，如图：点是线段上一点，设，，由平面向量基本定理可得，解得，故选C． 二、填空题．4．如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法：①都是单位向量；②，；③与相等的向量有3个；④与共线的向量有3个；⑤与向量大小相等、方向相反的向量为．其中正确的是_______．(填序号)【答案】①②④⑤【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确；②正确；③与相等的向量是，故③错误；④与共线的向量是，故④正确；⑤正确，故答案为①②④⑤．5．已知向量，，，，，则一定共线的三点是_________．【答案】，，【解析】因为，，不存在实数使得，所以与不共线，所以，，三点不共线；因为，因为，所以，由平面向量共线定理可知与平行，又因为有公共点，所以，，三点共线，因为，，所以不存在实数使得，所以与不共线，所以，，三点不共线；因为，，所以不存在实数使得，所以与不共线，所以，，三点不共线；综上所述：一定共线的三点是，，，故答案为，，．6．中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为________．【答案】【解析】如图，结合题意绘出图象，因为，为边的中点，所以，因为、、三点共线，所以，则，当且仅当、时取等号，故的最小值为，故答案为．7．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与共线，与共线，则与也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；④的充要条件是且；⑤已知为实数，若，则与共线．其中真命题的序号是________．【答案】③【解析】两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，①错误；若，则与不一定共线，②错误；因为＝，即||＝||且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形，③正确；当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，④错误；当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，⑤错误，故答案为③． 三、解答题．8．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，，三点共线，可设，由，，三点共线，可设，∴，解得，，∴．（2）∵，，三点共线，设，由（1）知，，∴，，∴．