高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试课时作业

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高考真题
1．(2011·辽宁卷)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcs2A＝eq \r(2)a，则eq \f(b,a)等于( )．
A．2eq \r(3) B．2eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(2)
解析 ∵asin Asin B＋bcs2A＝eq \r(2)a，
∴sin Asin Asin B＋sin Bcs2A＝eq \r(2)sin A，
∴sin B＝eq \r(2)sin A，∴eq \f(b,a)＝eq \f(sin B,sin A)＝eq \r(2).
答案 D
2．(2011·重庆卷)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )．
A.eq \f(4,3) B．8－4eq \r(3) C．1 D.eq \f(2,3)
解析 由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①
∵a2＋b2－c2＝2abcs C，故方程①化为2ab(1＋cs C)＝4.
∴ab＝eq \f(2,1＋cs C).
又∵C＝60°，∴ab＝eq \f(4,3).
答案 A
3.(2011·天津卷)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq \r(3)BD，BC＝2BD，则sin C的值为 ( )．
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),6)
解析 设AB＝a，∴AD＝a，BD＝eq \f(2,\r(3))a，BC＝2BD＝eq \f(4,\r(3))a，在△ABD中，
cs A＝eq \f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq \f(2a2－\f(4,3)a2,2a2)＝eq \f(1,3)，
∴sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(2\r(2),3).
由正弦定理知sin C＝eq \f(AB,BC)·sin A＝eq \f(\r(3),4)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(\r(6),6).
答案 D
4．(2011·北京卷)在△ABC中，若b＝5，B＝eq \f(π,4)，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.
解析 由tan A＝2得sin A＝2cs A．又sin2A＋cs2A＝1得sin A＝eq \f(2\r(5),5).又∵b＝5，B＝eq \f(π,4)，根据正弦定理，应有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq \r(10).
答案 eq \f(2\r(5),5) 2eq \r(10)
5．(2011·全国课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝eq \r(3)，则AB＋2BC的最大值为________．
解析 由正弦定理知eq \f(AB,sin C)＝eq \f(\r(3),sin 60°)＝eq \f(BC,sin A)，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cs C－2cs 120°sin C)
＝2(sin C＋eq \r(3)cs C＋sin C)
＝2(2sin C＋eq \r(3)cs C)
＝2eq \r(7)sin(C＋α)，
其中tan α＝eq \f(\r(3),2)，α是第一象限角．
由于0°因此AB＋2BC有最大值2eq \r(7).
答案 2eq \r(7)
6．(2011·全国大纲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A－C＝90°，a＋c＝eq \r(2)b，求C.
解 由a＋c＝eq \r(2)b及正弦定理可得sin A＋sin C＝eq \r(2)sin B.
又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，
故cs C＋sin C＝eq \r(2)sin(A＋C)＝eq \r(2)sin(90°＋2C)＝eq \r(2)cs 2C.
eq \f(\r(2),2)cs C＋eq \f(\r(2),2)sin C＝cs 2C，cs (45°－C)＝cs 2C.
因为0°7．(2011·安徽高考)在△ABC中，若a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，1＋2cs(B＋C)＝0，求边BC上的高．
解 由1＋2cs(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，
得1－2cs A＝0，
所以cs A＝eq \f(1,2)，所以sin A＝eq \f(\r(3),2).
再由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2),2).
由b从而cs B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(\r(2),2).
由上述结果知sin C＝sin(A＋B)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2))).
设边BC上的高为h，则有h＝bsin C＝eq \f(\r(3)＋1,2).
8．(2011·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知eq \f(cs A－2cs C,cs B)＝eq \f(2c－a,b).
(1)求eq \f(sin C,sin A)的值；
(2)若cs B＝eq \f(1,4)，b＝2，求△ABC的面积S.
解 (1)由正弦定理，设eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝k，
则eq \f(2c－a,b)＝eq \f(2ksin C－ksin A,ksin B)＝eq \f(2sin C－sin A,sin B)，
所以eq \f(cs A－2cs C,cs B)＝eq \f(2sin C－sin A,sin B).
即(cs A－2cs C)sin B＝(2sin C－sin A)cs B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.
因此eq \f(sin C,sin A)＝2.
(2)由eq \f(sin C,sin A)＝2得c＝2a.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B及cs B＝eq \f(1,4)，b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×eq \f(1,4).
解得a＝1.从而c＝2.
又因为cs B＝eq \f(1,4)，且0所以sin B＝eq \f(\r(15),4).
因此S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×1×2×eq \f(\r(15),4)＝eq \f(\r(15),4).